Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclbn 29535
Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces, with additional conditions on its scalar field. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclbn.1 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
sitgclbn.2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
Assertion
Ref Expression
sitgclbn (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclbn
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . 2 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . 2 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . 2 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . 2 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . 2 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . 2 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10 eqid 2606 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11 eqid 2606 . 2 ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12 sitgclbn.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
13 bncms 22863 . . . 4 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CMetSp)
15 cmsms 22867 . . 3 (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
16 mstps 22008 . . 3 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
1714, 15, 163syl 18 . 2 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
18 bnlmod 22862 . . 3 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)
19 lmodcmn 18677 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
2012, 18, 193syl 18 . 2 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
21 sitgclbn.2 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
2212, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
23223ad2ant1 1074 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
24 imassrn 5380 . . . . . 6 (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
256rneqi 5257 . . . . . . 7 ran 𝐻 = ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
26 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2726rrhfe 29187 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
28 frn 5949 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2921, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3025, 29syl5eqss 3608 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3124, 30syl5ss 3575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3231sselda 3564 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33323adant3 1073 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34 simp3 1055 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
351, 10, 5, 26lmodvscl 18646 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
3623, 33, 34, 35syl3anc 1317 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 20, 21, 36sitgclg 29534 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3536   cuni 4363   × cxp 5023  dom cdm 5025  ran crn 5026  cres 5027  cima 5028  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  cr 9788  0cc0 9789  +∞cpnf 9924  [,)cico 12001  Basecbs 15638  Scalarcsca 15714   ·𝑠 cvsca 15715  distcds 15720  TopOpenctopn 15848  0gc0g 15866  CMndccmn 17959  LModclmod 18629  TopSpctps 20458  MetSpcmt 21871  CMetSpccms 22851  Bancbn 22852  ℝHomcrrh 29168   ℝExt crrext 29169  sigaGencsigagen 29331  measurescmeas 29388  sitgcsitg 29521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-tpos 7213  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-dvds 14765  df-gcd 14998  df-numer 15224  df-denom 15225  df-gz 15415  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-mhm 17101  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-mulg 17307  df-subg 17357  df-ghm 17424  df-cntz 17516  df-od 17714  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-cring 18316  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-rnghom 18481  df-drng 18515  df-subrg 18544  df-abv 18583  df-lmod 18631  df-nzr 19022  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-metu 19509  df-cnfld 19511  df-zring 19581  df-zrh 19613  df-zlm 19614  df-chr 19615  df-refld 19712  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-reg 20869  df-cmp 20939  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-fcls 21494  df-cnext 21613  df-ust 21753  df-utop 21784  df-uss 21809  df-usp 21810  df-ucn 21829  df-cfilu 21840  df-cusp 21851  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-nm 22135  df-ngp 22136  df-nrg 22138  df-nlm 22139  df-nvc 22140  df-cncf 22417  df-cfil 22776  df-cmet 22778  df-cms 22854  df-bn 22855  df-qqh 29148  df-rrh 29170  df-rrext 29174  df-esum 29220  df-siga 29301  df-sigagen 29332  df-meas 29389  df-mbfm 29443  df-sitg 29522
This theorem is referenced by:  sitgclcn  29536  sitgclre  29537
  Copyright terms: Public domain W3C validator