Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclg 30227
Description: Closure of the Bochner integral on simple functions, generic version. See sitgclbn 30228 for the version for Banach spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclg.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
sitgclg.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
sitgclg.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitgclg.2 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
sitgclg.3 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgclg.4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sitgclg (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑥,𝐹   𝑚,𝐻   𝑥,𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑊,𝑥   0 ,𝑚,𝑥   · ,𝑚   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑚)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem sitgclg
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sitgfval 30226 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))))
11 sitgclg.2 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
12 rnexg 7060 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) → ran 𝐹 ∈ V)
13 difexg 4778 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
149, 12, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 simpl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝜑)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfima 30223 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
17 sitgclg.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
18 sitgclg.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
1918fveq2i 6161 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘𝐺) = (dist‘(Scalar‘𝑊))
2018fveq2i 6161 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2120, 20xpeq12i 5107 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2219, 21reseq12i 5364 . . . . . . . . . . 11 ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
2317, 22eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
24 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
25 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2618fveq2i 6161 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
2718fveq2i 6161 . . . . . . . . . 10 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘(Scalar‘𝑊))
28 sitgclg.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
2918, 28syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℝExt )
30 rrextdrg 29870 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ DivRing)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ DivRing)
3218, 31syl5eqelr 2703 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
33 rrextnrg 29869 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ NrmRing)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ NrmRing)
3518, 34syl5eqelr 2703 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
36 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘𝐺)
3736rrextnlm 29871 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3918fveq2i 6161 . . . . . . . . . . 11 (chr‘𝐺) = (chr‘(Scalar‘𝑊))
40 rrextchr 29872 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (chr‘𝐺) = 0)
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (chr‘𝐺) = 0)
4239, 41syl5eqr 2669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (chr‘(Scalar‘𝑊)) = 0)
43 rrextcusp 29873 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ CUnifSp)
4429, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ CUnifSp)
4518, 44syl5eqelr 2703 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ CUnifSp)
4618fveq2i 6161 . . . . . . . . . . 11 (UnifSt‘𝐺) = (UnifSt‘(Scalar‘𝑊))
47 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4847, 17rrextust 29876 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
4929, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
5046, 49syl5eqr 2669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (UnifSt‘(Scalar‘𝑊)) = (metUnif‘𝐷))
5123, 24, 25, 26, 27, 32, 35, 38, 42, 45, 50rrhf 29866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
526feq1i 6003 . . . . . . . . 9 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
5351, 52sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
54 ffun 6015 . . . . . . . 8 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → Fun 𝐻)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐻)
56 rge0ssre 12238 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
57 fdm 6018 . . . . . . . . 9 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → dom 𝐻 = ℝ)
5853, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐻 = ℝ)
5956, 58syl5sseqr 3639 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻)
60 funfvima2 6458 . . . . . . 7 ((Fun 𝐻 ∧ (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻) → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
6155, 59, 60syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
6215, 16, 61sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
63 dmmeas 30087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
648, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
65 fvex 6168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘𝑊) ∈ V
662, 65eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
6867sgsiga 30028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
693, 68syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
701, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfmbl 30220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
7164, 69, 70mbfmf 30140 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹: dom 𝑀 𝑆)
72 frn 6020 . . . . . . . . . 10 (𝐹: dom 𝑀 𝑆 → ran 𝐹 𝑆)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 𝑆)
743unieqi 4418 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
75 unisg 30029 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7666, 75mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7774, 76syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
78 sitgclg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
791, 2tpsuni 20680 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐽)
8177, 80eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑆 = 𝐵)
8273, 81sseqtrd 3626 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
8382ssdifd 3730 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
8483sselda 3588 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8584eldifad 3572 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
86 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
87 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
88873anbi2d 1401 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵)))
89 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
9089eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
9188, 90imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
92 sitgclg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9391, 92vtoclg 3256 . . . . . 6 ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) → ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
9486, 93mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
9515, 62, 85, 94syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
96 eqid 2621 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
9795, 96fmptd 6351 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)):(ran 𝐹 ∖ { 0 })⟶𝐵)
98 mptexg 6449 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
9914, 98syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
100 fvex 6168 . . . . . 6 (0g𝑊) ∈ V
1014, 100eqeltri 2694 . . . . 5 0 ∈ V
102 suppimacnv 7266 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
10399, 101, 102sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
1041, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfrn 30222 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
105 cnvimass 5454 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
10696dmmptss 5600 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
107105, 106sstri 3597 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
108 difss 3721 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ ran 𝐹
109107, 108sstri 3597 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹
110 ssfi 8140 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
111104, 109, 110sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
112103, 111eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) ∈ Fin)
1131, 4, 11, 14, 97, 112gsumcl2 18255 . 2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))) ∈ 𝐵)
11410, 113eqeltrd 2698 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  cdif 3557  wss 3560  {csn 4155   cuni 4409  cmpt 4683   × cxp 5082  ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085  cres 5086  cima 5087  Fun wfun 5851  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615   supp csupp 7255  Fincfn 7915  cr 9895  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  (,)cioo 12133  [,)cico 12135  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  distcds 15890  TopOpenctopn 16022  topGenctg 16038  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  CMndccmn 18133  DivRingcdr 18687  metUnifcmetu 19677  ℤModczlm 19789  chrcchr 19790  TopSpctps 20676  UnifStcuss 21997  CUnifSpccusp 22041  NrmRingcnrg 22324  NrmModcnlm 22325  ℝHomcrrh 29861   ℝExt crrext 29862  sigAlgebracsiga 29993  sigaGencsigagen 30024  measurescmeas 30081  sitgcsitg 30214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-numer 15386  df-denom 15387  df-gz 15577  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-od 17888  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-abv 18757  df-lmod 18805  df-nzr 19198  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-metu 19685  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-zrh 19792  df-zlm 19793  df-chr 19794  df-refld 19891  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-reg 21060  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-fcls 21685  df-cnext 21804  df-ust 21944  df-utop 21975  df-uss 22000  df-usp 22001  df-ucn 22020  df-cfilu 22031  df-cusp 22042  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-nm 22327  df-ngp 22328  df-nrg 22330  df-nlm 22331  df-cncf 22621  df-cfil 22993  df-cmet 22995  df-cms 23072  df-qqh 29841  df-rrh 29863  df-rrext 29867  df-esum 29913  df-siga 29994  df-sigagen 30025  df-meas 30082  df-mbfm 30136  df-sitg 30215
This theorem is referenced by:  sitgclbn  30228  sitmcl  30236
  Copyright terms: Public domain W3C validator