Theorem sleloe 32004

Description: Surreal less than or equal in terms of less than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sleloe	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem sleloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slenlt 32002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
2		orcom 401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
3		eqcom 2658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
4	3	orbi1i 541	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
5	2, 4	bitri 264	. . 3 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
6		sltso 31952	. . . . . 6 ⊢ <s Or No
7		sotric 5090	. . . . . 6 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No )) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
8	6, 7	mpan 706	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
9	8	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
10	9	con2bid 343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
11	5, 10	syl5bb 272	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
12	1, 11	bitr4d 271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685   Or wor 5063   No csur 31918   <s cslt 31919   ≤s csle 31994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-1o 7605  df-2o 7606  df-no 31921  df-slt 31922  df-sle 31995

This theorem is referenced by: (None)