Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolvec 20211
 Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
slesolex.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
slesolvec (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))

Proof of Theorem slesolvec
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 slesolex.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 19944 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 473 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 471 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ≠ ∅)
75, 5, 63jca 1234 . . . . . . 7 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
87ex 448 . . . . . 6 (𝑁 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
98adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
104, 9syl5com 31 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1110adantr 479 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1211impcom 444 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
13 simpr 475 . . 3 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14 simpr 475 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1513, 14anim12i 587 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉))
16 eqid 2514 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17 eqid 2514 . . 3 ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))
18 slesolex.v . . 3 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
19 slesolex.x . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
2016, 17, 18, 19, 18mavmulsolcl 20083 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
2112, 15, 20syl2anc 690 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684  Vcvv 3077  ∅c0 3777  ⟨cop 4034   × cxp 4930  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425   ↑𝑚 cmap 7618  Fincfn 7715  Basecbs 15583  Ringcrg 18281   Mat cmat 19939   maVecMul cmvmul 20072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-map 7620  df-slot 15587  df-base 15588  df-mat 19940  df-mvmul 20073 This theorem is referenced by:  slesolinv  20212  cramerimplem3  20217  cramerimp  20218  cramer  20223
 Copyright terms: Public domain W3C validator