Theorem sletr 32008

Description: Surreal transitive law. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sletr	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))

Proof of Theorem sletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltletr 32006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐶 <s 𝐴 ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
2	1	3coml 1292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐶 <s 𝐴 ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
3	2	expcomd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐶 <s 𝐴 → 𝐶 <s 𝐵)))
4	3	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (𝐶 <s 𝐴 → 𝐶 <s 𝐵))
5	4	con3d 148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (¬ 𝐶 <s 𝐵 → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
6	5	expimpd 628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵) → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
7		slenlt 32002	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
8	7	3adant1 1099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
9	8	anbi2d 740	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵)))
10		slenlt 32002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
11	10	3adant2 1100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
12	6, 9, 11	3imtr4d 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685   No csur 31918   <s cslt 31919   ≤s csle 31994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-1o 7605  df-2o 7606  df-no 31921  df-slt 31922  df-sle 31995

This theorem is referenced by:  sletrd  32012