Theorem slmdacl 30841

Description: Closure of ring addition for a semimodule. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmdacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdacl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmdacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdacl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 30839	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 19262	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ Mnd)
5		slmdacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		slmdacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	5, 6	mndcl 17922	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
8	4, 7	syl3an1 1159	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568  Scalarcsca 16571  Mndcmnd 17914  SRingcsrg 19258  SLModcslmd 30832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-nul 5213

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-iota 6317  df-fv 6366  df-ov 7162  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-cmn 18911  df-srg 19259  df-slmd 30833

This theorem is referenced by: (None)