Theorem slotsbhcdif 16696

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 16492	. . . 4 ⊢ Base = Slot 1
2		1nn 11652	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxarg 16511	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1re 10644	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		4nn0 11919	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		1nn0 11916	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12240	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
8	2, 5, 6, 7	declti 12139	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
9	4, 8	ltneii 10756	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
10		homndx 16690	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
11	9, 10	neeqtrri 3092	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
12	3, 11	eqnetri 3089	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13		5nn0 11920	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	2, 13, 6, 7	declti 12139	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
15	4, 14	ltneii 10756	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
16		ccondx 16692	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
17	15, 16	neeqtrri 3092	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
18	3, 17	eqnetri 3089	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
19	6, 5	deccl 12116	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
20	19	nn0rei 11911	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
21		5nn 11726	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
22		4lt5 11817	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
23	6, 5, 21, 22	declt 12129	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
24	20, 23	ltneii 10756	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
25	24, 16	neeqtrri 3092	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
26	10, 25	eqnetri 3089	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
27	12, 18, 26	3pm3.2i 1335	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1083   ≠ wne 3019  ‘cfv 6358  1c1 10541  4c4 11697  5c5 11698  ;cdc 12101  ndxcnx 16483  Basecbs 16486  Hom chom 16579  compcco 16580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-hom 16592  df-cco 16593

This theorem is referenced by:  estrreslem1  17390  estrres  17392