Theorem sltso 33176

Description: Surreal less than totally orders the surreals. Alling's axiom (O). (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 33175	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 33145	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 33146	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 33160	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 33091	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4290  {cpr 4562  {ctp 4564  ⟨cop 4566   Or wor 5467  1_oc1o 8089  2_oc2o 8090   No csur 33142   <s cslt 33143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-1o 8096  df-2o 8097  df-no 33145  df-slt 33146

This theorem is referenced by:  nosepne  33180  nosepdm  33183  nodenselem4  33186  nodenselem5  33187  nodenselem7  33189  nolt02o  33194  noresle  33195  nomaxmo  33196  noprefixmo  33197  nosupbnd1lem1  33203  nosupbnd1lem2  33204  nosupbnd1lem4  33206  nosupbnd1lem6  33208  nosupbnd1  33209  nosupbnd2lem1  33210  nosupbnd2  33211  noetalem3  33214  sltirr  33220  slttr  33221  sltasym  33222  sltlin  33223  slttrieq2  33224  slttrine  33225  sleloe  33228  sltletr  33230  slelttr  33231