Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltso 31801
Description: Surreal less than totally orders the surreals. Alling's axiom (O). (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
sltso <s Or No

Proof of Theorem sltso
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sltsolem1 31800 . 2 {⟨1𝑜, ∅⟩, ⟨1𝑜, 2𝑜⟩, ⟨∅, 2𝑜⟩} Or ({1𝑜, 2𝑜} ∪ {∅})
2 df-no 31770 . 2 No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}}
3 df-slt 31771 . 2 <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 No 𝑔 No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦) ∧ (𝑓𝑥){⟨1𝑜, ∅⟩, ⟨1𝑜, 2𝑜⟩, ⟨∅, 2𝑜⟩} (𝑔𝑥)))}
4 nosgnn0 31785 . 2 ¬ ∅ ∈ {1𝑜, 2𝑜}
51, 2, 3, 4soseq 31725 1 <s Or No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  c0 3907  {cpr 4170  {ctp 4172  cop 4174   Or wor 5024  1𝑜c1o 7538  2𝑜c2o 7539   No csur 31767   <s cslt 31768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-1o 7545  df-2o 7546  df-no 31770  df-slt 31771
This theorem is referenced by:  nosepne  31805  nosepdm  31808  nodenselem4  31811  nodenselem5  31812  nodenselem7  31814  nolt02o  31819  noresle  31820  nomaxmo  31821  noprefixmo  31822  nosupbnd1lem1  31828  nosupbnd1lem2  31829  nosupbnd1lem4  31831  nosupbnd1lem6  31833  nosupbnd1  31834  nosupbnd2lem1  31835  nosupbnd2  31836  noetalem3  31839  sltirr  31845  slttr  31846  sltasym  31847  sltlin  31848  slttrieq2  31849  slttrine  31850  sleloe  31853  sltletr  31855  slelttr  31856
  Copyright terms: Public domain W3C validator