Theorem slttr 33230

Description: Surreal less than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
slttr	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Proof of Theorem slttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 33185	. 2 ⊢ <s Or No
2		sotr 5500	. 2 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No )) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
3	1, 2	mpan 688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069   Or wor 5476   No csur 33151   <s cslt 33152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-ord 6197  df-on 6198  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-1o 8105  df-2o 8106  df-no 33154  df-slt 33155

This theorem is referenced by:  slttrd  33242