Theorem slwn0 18734

Description: Every finite group contains a Sylow 𝑃-subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwn0.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
slwn0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Proof of Theorem slwn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 18298	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	2	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → {(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ Fin)
5	1	pgp0 18715	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
6	5	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}))
7		slwn0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)}) = (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑦) ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (♯‘𝑥))
10	7, 8, 9	pgpssslw 18733	. . 3 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s {(0g‘𝐺)})) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
11	3, 4, 6, 10	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧)
12		rexn0 4453	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑧 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {csn 4560   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ♯chash 13684  ℙcprime 16009  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097  SubGrpcsubg 18267   pGrp cpgp 18648   pSyl cslw 18649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-eqg 18272  df-od 18650  df-pgp 18652  df-slw 18653

This theorem is referenced by:  sylow3  18752