Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slwn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slwn0 18011
 Description: Every finite group contains a Sylow 𝑃-subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
slwn0.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
slwn0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)

Proof of Theorem slwn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
210subg 17600 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → {(0g𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
323ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → {(0g𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 simp2 1060 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ Fin)
51pgp0 17992 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s {(0g𝐺)}))
653adant2 1078 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s {(0g𝐺)}))
7 slwn0.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2620 . . . 4 (𝐺s {(0g𝐺)}) = (𝐺s {(0g𝐺)})
9 eqid 2620 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺s 𝑦) ∧ {(0g𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (#‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝑃 pGrp (𝐺s 𝑦) ∧ {(0g𝐺)} ⊆ 𝑦)} ↦ (#‘𝑥))
107, 8, 9pgpssslw 18010 . . 3 (({(0g𝐺)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 pGrp (𝐺s {(0g𝐺)})) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g𝐺)} ⊆ 𝑧)
113, 4, 6, 10syl3anc 1324 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g𝐺)} ⊆ 𝑧)
12 rexn0 4065 . 2 (∃𝑧 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺){(0g𝐺)} ⊆ 𝑧 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
1311, 12syl 17 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∃wrex 2910  {crab 2913   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  #chash 13100  ℙcprime 15366  Basecbs 15838   ↾s cress 15839  0gc0g 16081  Grpcgrp 17403  SubGrpcsubg 17569   pGrp cpgp 17927   pSyl cslw 17928 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-pc 15523  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-eqg 17574  df-od 17929  df-pgp 17931  df-slw 17932 This theorem is referenced by:  sylow3  18029
 Copyright terms: Public domain W3C validator