Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatcl 29692
Description: Closure of the square submatrix: if 𝑀 is a square matrix of dimension 𝑁 with indexes in (1...𝑁), then a submatrix of 𝑀 is of dimension (𝑁 − 1). (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smatcl.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
smatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
smatcl.c 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
smatcl.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
smatcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smatcl.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
smatcl.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smatcl.m (𝜑𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
smatcl (𝜑𝑆𝐶)

Proof of Theorem smatcl
StepHypRef Expression
1 smatcl.s . . . 4 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
2 smatcl.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 smatcl.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
4 smatcl.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
5 smatcl.m . . . . 5 (𝜑𝑀𝐵)
6 smatcl.a . . . . . 6 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
7 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 smatcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
96, 7, 8matbas2i 20168 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
105, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
111, 2, 2, 3, 4, 10smatrcl 29686 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
12 fzfi 12727 . . . . 5 (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
136, 8matrcl 20158 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → ((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1413simprd 479 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑅 ∈ V)
155, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
16 eqid 2621 . . . . . 6 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
1716, 7matbas2 20167 . . . . 5 (((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
1812, 15, 17sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
1918eleq2d 2684 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) ↔ 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))))
2011, 19mpbid 222 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
21 smatcl.c . 2 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
2220, 21syl6eleqr 2709 1 (𝜑𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190   × cxp 5082  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  1c1 9897  cmin 10226  cn 10980  ...cfz 12284  Basecbs 15800   Mat cmat 20153  subMat1csmat 29683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-prds 16048  df-pws 16050  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-mat 20154  df-smat 29684
This theorem is referenced by:  submat1n  29695  submateq  29699  madjusmdetlem3  29719  mdetlap  29722
  Copyright terms: Public domain W3C validator