Theorem smattl 31058

Description: Entries of a submatrix, top left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smattl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))

Assertion

Ref	Expression
smattl	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fzossnn 13080	. . 3 ⊢ (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8		smattl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
9	7, 8	sseldi 3965	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
10		fzossnn 13080	. . 3 ⊢ (1..^𝐿) ⊆ ℕ
11		smattl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))
12	10, 11	sseldi 3965	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
13		elfzolt2 13041	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
14	8, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐾)
15	14	iftrued 4475	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
16		elfzolt2 13041	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
17	11, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐿)
18	17	iftrued 4475	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 18	smatlem 31057	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059   × cxp 5548  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  ℕcn 11632  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  subMat1csmat 31053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-smat 31054

This theorem is referenced by:  submat1n  31065  submateq  31069