Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smattr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smattr 29839
 Description: Entries of a submatrix, top right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattr.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smattr.j (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
Assertion
Ref Expression
smattr (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattr
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fz1ssnn 12357 . . . . 5 (1...𝑀) ⊆ ℕ
87, 4sseldi 3593 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 fzssnn 12370 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11 smattr.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
1210, 11sseldd 3596 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
13 fzossnn 12500 . . 3 (1..^𝐿) ⊆ ℕ
14 smattr.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
1513, 14sseldi 3593 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
16 elfzle1 12329 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾𝐼)
1711, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
188nnred 11020 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1912nnred 11020 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
2018, 19lenltd 10168 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
2117, 20mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
2221iffalsed 4088 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
23 elfzolt2 12463 . . . 4 (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
2414, 23syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 < 𝐿)
2524iftrued 4085 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 22, 25smatlem 29837 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ⊆ wss 3567   class class class wbr 4644   × cxp 5102  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↑𝑚 cmap 7842  1c1 9922   + caddc 9924   < clt 10059   ≤ cle 10060  ℕcn 11005  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449  subMat1csmat 29833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-smat 29834 This theorem is referenced by:  submateq  29849
 Copyright terms: Public domain W3C validator