MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smcnlem 27680
Description: Lemma for smcn 27681. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
smcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
smcn.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
smcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
smcn.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
smcn.n 𝑁 = (normCV𝑈)
smcn.u 𝑈 ∈ NrmCVec
smcn.t 𝑇 = (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
Assertion
Ref Expression
smcnlem 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐶   𝐽,𝑟,𝑥,𝑦   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables 𝑠 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
2 smcn.x . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 smcn.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
42, 3nvsf 27602 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋)
51, 4ax-mp 5 . 2 𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋
6 smcn.t . . . . . 6 𝑇 = (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
7 1rp 11874 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
8 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (normCV𝑈)
102, 9nvcl 27644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
111, 8, 10sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
12 abscl 14062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
152, 9nvge0 27656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
161, 8, 15sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
17 absge0 14071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝑥))
1911, 13, 16, 18addge0d 10641 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)))
2014, 19ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ+)
21 rpdivcl 11894 . . . . . . . . 9 (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
2220, 21sylan 487 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
23 rpaddcl 11892 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
247, 22, 23sylancr 696 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 11920 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) ∈ ℝ+)
266, 25syl5eqel 2734 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
282, 27imsmet 27674 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ (Met‘𝑋)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
32 simplll 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑦𝑋)
342, 3nvscl 27609 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
36 simprll 819 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑧 ∈ ℂ)
37 simprlr 820 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑤𝑋)
382, 3nvscl 27609 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋)
3931, 36, 37, 38syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋)
40 metcl 22184 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4130, 35, 39, 40syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
422, 3nvscl 27609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
4331, 36, 33, 42syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
44 metcl 22184 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
4530, 35, 43, 44syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
46 metcl 22184 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4730, 43, 39, 46syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4845, 47readdcld 10107 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) ∈ ℝ)
49 rpre 11877 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
5049ad2antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑟 ∈ ℝ)
51 mettri 22204 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ≤ (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))))
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ≤ (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))))
531, 33, 10sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
5432abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
5553, 54readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
56 peano2re 10247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
5826adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
5958rpred 11910 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 10108 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) ∈ ℝ)
6132, 36subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
6261abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ∈ ℝ)
6362, 53remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
6436abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
65 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
662, 65nvmcl 27629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
6731, 33, 37, 66syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
682, 9nvcl 27644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ∈ ℝ)
691, 67, 68sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ∈ ℝ)
7064, 69remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ∈ ℝ)
7153, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑁𝑦) · 𝑇) ∈ ℝ)
72 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
7354, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
7473, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇) ∈ ℝ)
751, 33, 15sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
7632, 36abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑥)))
7736, 32subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑥) ∈ ℂ)
7877abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ∈ ℝ)
79 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8079cnmetdval 22621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
8132, 36, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
8281, 76eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑧𝑥)))
83 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇)
8482, 83eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) < 𝑇)
8578, 59, 84ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ≤ 𝑇)
8676, 85eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ≤ 𝑇)
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 11001 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑇 · (𝑁𝑦)))
8858rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8953recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁𝑦) ∈ ℂ)
9088, 89mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑇 · (𝑁𝑦)) = ((𝑁𝑦) · 𝑇))
9187, 90breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁𝑦) · 𝑇))
9236absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
932, 9nvge0 27656 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
941, 67, 93sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
9554, 78readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))) ∈ ℝ)
9632, 36pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (𝑧𝑥)) = 𝑧)
9796fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) = (abs‘𝑧))
9832, 77abstrid 14239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))))
9997, 98eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))))
100 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 ∈ ℝ)
101 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
10222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
103 ltaddrp 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
104101, 102, 103sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
10524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
106105recgt1d 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ↔ (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 1))
107104, 106mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 1)
1086, 107syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 < 1)
10959, 100, 108ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ≤ 1)
11078, 59, 100, 85, 109letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ≤ 1)
11178, 100, 54, 110leadd2dd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
11264, 95, 73, 99, 111letrd 10232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
1132, 65, 9, 27imsdval 27669 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋) → (𝑦𝐶𝑤) = (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
11431, 33, 37, 113syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦𝐶𝑤) = (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
115 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇)
116114, 115eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) < 𝑇)
11769, 59, 116ltled 10223 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ≤ 𝑇)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 11004 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ≤ (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇))
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 10684 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) + ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))) ≤ (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
120 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 27670 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
12231, 35, 43, 121syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
123 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
124 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) ∈ ℂ)
125123, 36, 124sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (-1 · 𝑧) ∈ ℂ)
1262, 120, 3nvdir 27614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (-1 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋)) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)))
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)))
12836mulm1d 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
129128oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (-1 · 𝑧)) = (𝑥 + -𝑧))
13032, 36negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + -𝑧) = (𝑥𝑧))
131129, 130eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (-1 · 𝑧)) = (𝑥𝑧))
132131oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑧)𝑆𝑦))
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → -1 ∈ ℂ)
1342, 3nvsass 27611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋)) → ((-1 · 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((-1 · 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
136135oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
137127, 132, 1363eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑧)𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
138137fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
1392, 3, 9nvs 27646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
14031, 61, 33, 139syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
141122, 138, 1403eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
1422, 65, 9, 27imsdval 27669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
14331, 43, 39, 142syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
1442, 65, 3nvmdi 27631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤)))
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤)))
146145fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
1472, 3, 9nvs 27646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
14831, 36, 67, 147syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
149143, 146, 1483eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
150141, 149oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) = (((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) + ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))))
15154recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
152 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 ∈ ℂ)
15389, 151, 152addassd 10100 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) = ((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)))
154153oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)) · 𝑇))
15573recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
15689, 155, 88adddird 10103 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
157154, 156eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
158119, 150, 1573brtr4d 4717 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) ≤ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇))
15957recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℂ)
160105rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℂ)
161105rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ≠ 0)
162159, 160, 161divrecd 10842 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))))
1636oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))))
164162, 163syl6reqr 2704 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))))
165 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
166102rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ)
167166ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) < (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) + 1))
168102rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℂ)
169168, 152addcomd 10276 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) + 1) = (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
170167, 169breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
17157, 165, 105, 170ltdiv23d 11975 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 𝑟)
172164, 171eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) < 𝑟)
17348, 60, 50, 158, 172lelttrd 10233 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) < 𝑟)
17441, 48, 50, 52, 173lelttrd 10233 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)
175174expr 642 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋)) → (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
176175ralrimivva 3000 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
177 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 → ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇))
178 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 → ((𝑦𝐶𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))
179177, 178anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑇 → (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇)))
180179imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑇 → ((((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
1811802ralbidv 3018 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
182181rspcev 3340 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
18326, 176, 182syl2anc 694 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
184183ralrimiva 2995 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
185184rgen2 3004 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)
186 cnxmet 22623 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1872, 27imsxmet 27675 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
1881, 187ax-mp 5 . . 3 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
189 smcn.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
190189cnfldtopn 22632 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191 smcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
192190, 191, 191txmetcn 22400 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))))
193186, 188, 188, 192mp3an 1464 . 2 (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
1945, 185, 193mpbir2an 975 1 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  +crp 11870  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  MetOpencmopn 19784  fldccnfld 19794   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  𝑣 cnsb 27572  normCVcnmcv 27573  IndMetcims 27574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-tms 22174  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584
This theorem is referenced by:  smcn  27681
  Copyright terms: Public domain W3C validator