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Theorem smfaddlem1 40304
Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem1.x 𝑥𝜑
smfaddlem1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem1.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem1.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞   𝐷,𝑝,𝑞   𝑥,𝐾   𝑅,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝑥,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐾(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem1
StepHypRef Expression
1 smfaddlem1.x . . 3 𝑥𝜑
2 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝜑)
3 inss1 3816 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
4 rabid 3109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
54simplbi 476 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
63, 5sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥𝐴)
76adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥𝐴)
8 smfaddlem1.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10041 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 smfaddlem1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑅 ∈ ℝ)
13 elinel2 3783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
15 smfaddlem1.d . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1614, 15syldan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
175, 16sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1812, 17resubcld 10410 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ)
1918rexrd 10041 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
204simprbi 480 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
229, 17, 12ltaddsubd 10579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ((𝐵 + 𝐷) < 𝑅𝐵 < (𝑅𝐷)))
2321, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 < (𝑅𝐷))
2410, 19, 23qelioo 39215 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
2517rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2625ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2711ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28 qre 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 10410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
3130rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
33 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ ℝ)
3512adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑅 ∈ ℝ)
3617adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
3710adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3819adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
40 iooltub 39177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4234, 35, 36, 41ltsub13d 10585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4342adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4426, 32, 43qelioo 39215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
45 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑞(((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
46 nfre1 3000 . . . . . . . . . . . 12 𝑞𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
47 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℚ)
48 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
49483ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℝ)
50353adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℝ)
51333ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
5250, 51resubcld 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
53253ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5452rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
55 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
56 iooltub 39177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5849, 52, 51, 57ltadd2dd 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < (𝑝 + (𝑅𝑝)))
5951recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
6050recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℂ)
6159, 60pncan3d 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + (𝑅𝑝)) = 𝑅)
6258, 61breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6362ad5ant135 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6447, 63jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
65 rabid 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ↔ (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
6664, 65sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
67 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℚ)
68 qex 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ∈ V
6968rabex 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
71 smfaddlem1.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7271fvmpt2 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7367, 70, 72syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℚ → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7473ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7566, 74eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
76 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
7776, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
78 ioogtlb 39159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
7937, 38, 39, 78syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
8079ad5ant13 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐵 < 𝑝)
8125ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
83 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
84 ioogtlb 39159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8685ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8777, 80, 86jca32 557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
88 rabid 3109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
8987, 88sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
90 rspe 2998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ (𝐾𝑝) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9175, 89, 90syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9291ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9392ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})))
9445, 46, 93rexlimd 3020 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9544, 94mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
96 eliun 4495 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9795, 96sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9897ex 450 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9998reximdva 3012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10024, 99mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
101 eliun 4495 . . . . . 6 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
102100, 101sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
103102ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10496rexbii 3035 . . . . . . . . 9 (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
105101, 104bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
106105biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
107106adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
10888biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
109108simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
1101093ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
111 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
112111adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
113112, 8syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
114109, 113sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151143adant2 1078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
116109, 16sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1171163adant2 1078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
118115, 117readdcld 10021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
119 simp2l 1085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℚ)
120119, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℝ)
121 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
122 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
12373adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
124122, 123eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
125121, 124sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
1261253ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℚ)
12728ssriv 3591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ⊆ ℝ
128127sseli 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
129126, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℝ)
130120, 129readdcld 10021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
131113ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑅 ∈ ℝ)
132108simprld 794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐵 < 𝑝)
1331323ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 < 𝑝)
134108simprrd 796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐷 < 𝑞)
1351343ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 < 𝑞)
136115, 117, 120, 129, 133, 135ltadd12dd 39054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < (𝑝 + 𝑞))
137 rabidim2 38802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
138124, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
1391383ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
140118, 130, 131, 136, 139lttrd 10150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
141110, 140jca 554 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
142141, 4sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
1431423exp 1261 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})))
144143rexlimdvv 3031 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
145144adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
146107, 145mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
147146ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
148103, 147impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
1491, 148alrimi 2080 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
150 nfrab1 3114 . . 3 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}
151 nfcv 2761 . . . 4 𝑥
152 nfcv 2761 . . . . 5 𝑥(𝐾𝑝)
153 nfrab1 3114 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
154152, 153nfiun 4519 . . . 4 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
155151, 154nfiun 4519 . . 3 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
156150, 155dfcleqf 38773 . 2 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
157149, 156sylibr 224 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189  cin 3558   ciun 4490   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887   + caddc 9891  *cxr 10025   < clt 10026  cmin 10218  cq 11740  (,)cioo 12125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-ioo 12129
This theorem is referenced by:  smfaddlem2  40305
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