Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdiv 40341
Description: The fraction of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdiv.x 𝑥𝜑
smfdiv.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdiv.a (𝜑𝐴𝑉)
smfdiv.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdiv.c (𝜑𝐶𝑊)
smfdiv.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfdiv.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.e 𝐸 = {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0}
Assertion
Ref Expression
smfdiv (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfdiv
StepHypRef Expression
1 smfdiv.x . . 3 𝑥𝜑
2 elinel1 3783 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝑥𝐴)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝑥𝐴)
4 smfdiv.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
53, 4syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 10028 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 smfdiv.e . . . . . . . . 9 𝐸 = {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0}
8 ssrab2 3672 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0} ⊆ 𝐶
97, 8eqsstri 3620 . . . . . . . 8 𝐸𝐶
10 elinel2 3784 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝑥𝐸)
119, 10sseldi 3586 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝑥𝐶)
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝑥𝐶)
13 smfdiv.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1412, 13syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ)
1514recnd 10028 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
167eleq2i 2690 . . . . . . . 8 (𝑥𝐸𝑥 ∈ {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0})
1716biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑥𝐸𝑥 ∈ {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0})
18 rabidim2 38806 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0} → 𝐷 ≠ 0)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝐷 ≠ 0)
2010, 19syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐷 ≠ 0)
226, 15, 21divrecd 10764 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → (𝐵 / 𝐷) = (𝐵 · (1 / 𝐷)))
231, 22mpteq2da 4713 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))))
24 smfdiv.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
25 smfdiv.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
26 1red 10015 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → 1 ∈ ℝ)
279sseli 3584 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝑥𝐶)
2827adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐸) → 𝑥𝐶)
2928, 13syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → 𝐷 ∈ ℝ)
3019adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
3126, 29, 30redivcld 10813 . . 3 ((𝜑𝑥𝐸) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
32 smfdiv.m . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33 smfdiv.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑊)
34 smfdiv.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
351, 24, 33, 13, 34, 7smfrec 40333 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐸 ↦ (1 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
361, 24, 25, 4, 31, 32, 35smfmul 40339 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3723, 36eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wne 2790  {crab 2912  cin 3559  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   / cdiv 10644  SAlgcsalg 39865  SMblFncsmblfn 40246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-ac2 9245  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-ac 8899  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-word 13254  df-concat 13256  df-s1 13257  df-s2 13546  df-s3 13547  df-s4 13548  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-rest 16023  df-salg 39866  df-smblfn 40247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator