Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smff 40248
Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smff.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smff.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smff (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smff.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2 smff.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smff.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 40244 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
51, 4mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
65simp2d 1072 1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  wss 3555   cuni 4402   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879   < clt 10018  t crest 16002  SAlgcsalg 39835  SMblFncsmblfn 40216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-smblfn 40217
This theorem is referenced by:  sssmf  40254  smfsssmf  40259  issmfle  40261  issmfgt  40272  issmfge  40285  smflimlem2  40287  smflimlem3  40288  smflimlem4  40289  smflim  40292  smfpimgtxr  40295  smfpimioompt  40300  smfpimioo  40301  smfresal  40302  smfres  40304  smfco  40316  smffmpt  40318  smfsuplem1  40324  smfsuplem3  40326  smfsupxr  40329  smfinflem  40330  smflimsuplem2  40334  smflimsuplem3  40335  smflimsuplem4  40336  smflimsuplem5  40337
  Copyright terms: Public domain W3C validator