Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smff 42886
Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smff.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smff.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smff (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smff.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2 smff.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smff.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 42882 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
51, 4mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
65simp2d 1135 1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933   cuni 4830   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   < clt 10663  t crest 16682  SAlgcsalg 42470  SMblFncsmblfn 42854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-smblfn 42855
This theorem is referenced by:  sssmf  42892  smfsssmf  42897  issmfle  42899  issmfgt  42910  issmfge  42923  smflimlem2  42925  smflimlem3  42926  smflimlem4  42927  smflim  42930  smfpimgtxr  42933  smfpimioompt  42938  smfpimioo  42939  smfresal  42940  smfres  42942  smfco  42954  smffmpt  42956  smfsuplem1  42962  smfsuplem3  42964  smfsupxr  42967  smfinflem  42968  smflimsuplem2  42972  smflimsuplem3  42973  smflimsuplem4  42974  smflimsuplem5  42975  smfliminflem  42981
  Copyright terms: Public domain W3C validator