Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminflem 41357
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminflem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfliminflem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfliminflem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminflem.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smfliminflem (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem
StepHypRef Expression
1 smfliminflem.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
3 smfliminflem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
4 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
53, 4eqsstri 3668 . . . . . . . . 9 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥𝐷)
75, 6sseldi 3634 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
8 smfliminflem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 eqid 2651 . . . . . . . . 9 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
108, 9allbutfi 39929 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
117, 10sylib 208 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
13 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
14 nfra1 2970 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)
1513, 14nfan 1868 . . . . . . . . 9 𝑚((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
168fvexi 6240 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
188eluzelz2 39940 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
1918zred 11520 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝜑)
22 elinel1 3832 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚𝑍)
23 smfliminflem.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfliminflem.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
2625ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
27 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
2824, 26, 27smff 41262 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
2921, 22, 28syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
30 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
31 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3218adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℤ)
338, 22eluzelz2d 39953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ ℤ)
3519rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ*)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
37 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
39 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
4136, 38, 40icogelbd 40103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛𝑚)
4231, 32, 34, 41eluzd 39948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
4342adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
44 rspa 2959 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4530, 43, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4645adantlll 754 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4729, 46ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
4815, 17, 20, 47liminfval4 40339 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
4948rexlimdva2 39653 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
5049adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
5112, 50mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5251xnegeqd 39977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5316mptex 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ V
5453limsupcli 40307 . . . . . . . . . . 11 (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*
5554xnegnegi 39979 . . . . . . . . . 10 -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5752, 56eqtr2d 2686 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
583rabeq2i 3228 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
5958simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6059adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6160rexnegd 39648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6257, 61eqtr2d 2686 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6360renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6462, 63eqeltrrd 2731 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6564rexnegd 39648 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6651, 65eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6766mpteq2dva 4777 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
682, 67eqtrd 2685 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
69 nfv 1883 . . 3 𝑥𝜑
7018, 31uzn0d 39965 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
71 fvex 6239 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
7271dmex 7141 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
7372rgenw 2953 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
75 iinexg 4854 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7670, 74, 75syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7776rgen 2951 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
78 iunexg 7185 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7916, 77, 78mp2an 708 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
8079, 5ssexi 4836 . . . 4 𝐷 ∈ V
8180a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
823a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
8310biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
8449imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
8583, 84sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
8654a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*)
87 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
88 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
90 xnegrecl2 40003 . . . . . . . . . 10 (((lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9186, 89, 90syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
92 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
93 xnegrecl 39978 . . . . . . . . . . 11 ((lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9592, 94eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9691, 95impbida 895 . . . . . . . 8 ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
9785, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
9897rabbidva 3219 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
9982, 98eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
10069, 99mpteq1df 39757 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
101 nfv 1883 . . . . 5 𝑚𝜑
102 nfv 1883 . . . . 5 𝑛𝜑
103 smfliminflem.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
104 negex 10317 . . . . . 6 -((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V
105104a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → -((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
106 nfv 1883 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑚𝑍)
10772a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10828ffvelrnda 6399 . . . . . 6 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
10928feqmptd 6288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
110109, 26eqeltrrd 2731 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
111106, 24, 107, 108, 110smfneg 41331 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
112 eqid 2651 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
113 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
114101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113smflimsupmpt 41356 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
115100, 114eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
11669, 23, 81, 64, 115smfneg 41331 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
11768, 116eqeltrd 2730 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  c0 3948   ciun 4552   ciin 4553  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  -cneg 10305  cz 11415  cuz 11725  -𝑒cxne 11981  [,)cico 12215  lim supclsp 14245  lim infclsi 40301  SAlgcsalg 40846  SMblFncsmblfn 41230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-ceil 12634  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-s4 13641  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-top 20747  df-bases 20798  df-liminf 40302  df-salg 40847  df-salgen 40851  df-smblfn 41231
This theorem is referenced by:  smfliminf  41358
  Copyright terms: Public domain W3C validator