Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem1 40742
Description: Lemma for the proof that the limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that (𝐷𝐼) is in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem1.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem1.3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem1.4 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem1.5 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem1.6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem1.7 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝐶,𝑟   𝑥,𝐹   𝑃,𝑟   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑛,𝑍,𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem1.2 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smflimlem1.3 . . . 4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 smflimlem1.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 fvex 6188 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltri 2695 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
6 uzssz 11692 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
73eleq2i 2691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
87biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
96, 8sseldi 3593 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
10 uzid 11687 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
12 ne0i 3913 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
14 fvex 6188 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
1514dmex 7084 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
1615rgenw 2921 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
18 iinexg 4815 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1913, 17, 18syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2019rgen 2919 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
21 iunexg 7128 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
225, 20, 21mp2an 707 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2322rabex 4804 . . . 4 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ∈ V
242, 23eqeltri 2695 . . 3 𝐷 ∈ V
2524a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
26 smflimlem1.6 . . 3 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
27 nnct 12763 . . . . 5 ℕ ≼ ω
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
29 nnn0 39408 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
311adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
323uzct 39052 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
3431adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
35 eqid 2620 . . . . . . . 8 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3635uzct 39052 . . . . . . 7 (ℤ𝑛) ≼ ω
3736a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≼ ω)
3813adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
39 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
4039adantllr 754 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
41 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4241adantlll 753 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
433uztrn2 11690 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
4443ssd 39072 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
4544sselda 3595 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
4645adantll 749 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
47 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
48 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
49 fvex 6188 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
51 smflimlem1.5 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5251ovmpt4g 6768 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5347, 48, 50, 52syl3anc 1324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
54 simp1 1059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
55 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
5655, 1rabexd 4805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
58 smflimlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5958ovmpt4g 6768 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
6047, 48, 57, 59syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
61 ssrab2 3679 . . . . . . . . . 10 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ⊆ 𝑆
6260, 61syl6eqss 3647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ⊆ 𝑆)
6356ralrimivw 2964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6463ralrimivw 2964 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
65643ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6658elrnmpt2id 39243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
6747, 48, 65, 66syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
68 ovex 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
69 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
7069anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
71 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
72 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
7371, 72eleq12d 2693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
7470, 73imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
75 smflimlem1.7 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
7668, 74, 75vtocl 3254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7754, 67, 76syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7862, 77sseldd 3596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ 𝑆)
7953, 78eqeltrd 2699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8040, 42, 46, 79syl3anc 1324 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8134, 37, 38, 80saliincl 40308 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8231, 33, 81saliuncl 40305 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
831, 28, 30, 82saliincl 40308 . . 3 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8426, 83syl5eqel 2703 . 2 (𝜑𝐼𝑆)
85 incom 3797 . 2 (𝐷𝐼) = (𝐼𝐷)
861, 25, 84, 85elrestd 39111 1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  {crab 2913  Vcvv 3195  cin 3566  c0 3907   ciun 4511   ciin 4512   class class class wbr 4644  cmpt 4720  dom cdm 5104  ran crn 5105  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  ωcom 7050  cdom 7938  1c1 9922   + caddc 9924   < clt 10059   / cdiv 10669  cn 11005  cz 11362  cuz 11672  cli 14196  t crest 16062  SAlgcsalg 40291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rest 16064  df-salg 40292
This theorem is referenced by:  smflimlem5  40746
  Copyright terms: Public domain W3C validator