Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem5 41304
 Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem5.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimlem5.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem5.3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem5.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem5.5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem5.6 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
smflimlem5.7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem5.8 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem5.9 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem5.10 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem5.11 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem5 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐴,𝑠,𝑘,𝑚,𝑥   𝐶,𝑘,𝑚,𝑟   𝐶,𝑠   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝐹,𝑠   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝐻,𝑠   𝑘,𝐼,𝑚,𝑟,𝑥   𝑚,𝑀   𝑃,𝑘,𝑚,𝑟   𝑃,𝑠   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑟)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑛,𝑠)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem5
StepHypRef Expression
1 smflimlem5.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 smflimlem5.3 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smflimlem5.4 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
4 smflimlem5.5 . . . 4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
5 smflimlem5.6 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6 smflimlem5.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 smflimlem5.8 . . . 4 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
8 smflimlem5.9 . . . 4 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
9 smflimlem5.10 . . . 4 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
10 smflimlem5.11 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10smflimlem2 41301 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷𝐼))
12 smflimlem5.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10smflimlem4 41303 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐼) ⊆ {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴})
1411, 13eqssd 3653 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} = (𝐷𝐼))
151, 2, 4, 7, 8, 9, 10smflimlem1 41300 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
1614, 15eqeltrd 2730 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ∩ cin 3606  ∪ ciun 4552  ∩ ciin 4553   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725   ⇝ cli 14259   ↾t crest 16128  SAlgcsalg 40846  SMblFncsmblfn 41230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-rest 16130  df-salg 40847  df-smblfn 41231 This theorem is referenced by:  smflimlem6  41305
 Copyright terms: Public domain W3C validator