Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem5 41351
Description: 𝐻 converges to the superior limit of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem5.a 𝑛𝜑
smflimsuplem5.b 𝑚𝜑
smflimsuplem5.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem5.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem5.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem5.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem5.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem5.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem5.r (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem5.n (𝜑𝑁𝑍)
smflimsuplem5.x (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem5.a . . 3 𝑛𝜑
2 smflimsuplem5.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
3 smflimsuplem5.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
43eleq2i 2722 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 uzss 11746 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
87, 3syl6sseqr 3685 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
109sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
11 smflimsuplem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑍
13 nfrab1 3152 . . . . . . . . . . 11 𝑥{𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
1412, 13nfmpt 4779 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
1511, 14nfcxfr 2791 . . . . . . . . 9 𝑥𝐸
16 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥𝑛
1715, 16nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑥(𝐸𝑛)
18 fvex 6239 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
1917, 18mptexf 39758 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V)
21 smflimsuplem5.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
2221fvmpt2 6330 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
2310, 20, 22syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
2423fveq1d 6231 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))‘𝑋))
25 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑦(𝐸𝑛)
26 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑦sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
27 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < )
28 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2928mpteq2dv 4778 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
3029rneqd 5385 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
3130supeq1d 8393 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
3217, 25, 26, 27, 31cbvmptf 4781 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
33 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑋𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑦 = 𝑋)
3433fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑋𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
3534mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
3635rneqd 5385 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
3736supeq1d 8393 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ))
3837eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
39 uzss 11746 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑁))
40 iinss1 4565 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑁) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
43 smflimsuplem5.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
4443adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
4542, 44sseldd 3637 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
46 smflimsuplem5.b . . . . . . . . . . 11 𝑚𝜑
47 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)
4846, 47nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
49 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
50 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
5139sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁))
5251adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁))
53 smflimsuplem5.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑆 ∈ SAlg)
55 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝜑)
569sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚𝑍)
57 smflimsuplem5.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5857ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5955, 56, 58syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
60 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
6154, 59, 60smff 41262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
62 eliin 4557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚)))
6343, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚)))
6443, 63mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
66 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁))
67 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
6865, 66, 67syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
6961, 68ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
7050, 52, 69syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
71 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
73 smflimsuplem5.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
7748, 72, 74, 49, 3, 70, 76limsupequzmpt 40279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
78 smflimsuplem5.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
8077, 79eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
8180renepnfd 10128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ≠ +∞)
8248, 49, 70, 81limsupubuzmpt 40269 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ≤ 𝑦)
83 uzid2 39943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
84 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
8685adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
8748, 86, 70supxrre3rnmpt 39969 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ≤ 𝑦))
8882, 87mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8938, 45, 88elrabd 3398 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
90 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = 𝑥𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑦 = 𝑥)
9190fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = 𝑥𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
9291mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
9392rneqd 5385 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
9493supeq1d 8393 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
9594eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
9695cbvrabv 3230 . . . . . . 7 {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
9789, 96syl6eleq 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
98 eqid 2651 . . . . . . . 8 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
99 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑚) ∈ V
10099dmex 7141 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑚) ∈ V
101100rgenw 2953 . . . . . . . . . . 11 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10385, 102iinexd 39632 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
104103adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10598, 104rabexd 4846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
10611fvmpt2 6330 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
10710, 105, 106syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
10897, 107eleqtrrd 2733 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐸𝑛))
10988elexd 3245 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ V)
11032, 37, 108, 109fvmptd3 39761 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))‘𝑋) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ))
11124, 110eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ))
1121, 111mpteq2da 4776 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < )))
1133eluzelz2 39940 . . . 4 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
1142, 113syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
115 eqid 2651 . . 3 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
11675a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
11775a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
11846, 114, 73, 115, 3, 116, 117limsupequzmpt 40279 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
119118, 78eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
12046, 114, 115, 69, 119supcnvlimsupmpt 40291 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
121112, 120eqbrtrd 4707 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   ciin 4553   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  supcsup 8387  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  lim supclsp 14245  cli 14259  SAlgcsalg 40846  SMblFncsmblfn 41230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fl 12633  df-ceil 12634  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-smblfn 41231
This theorem is referenced by:  smflimsuplem6  41352  smflimsuplem8  41354
  Copyright terms: Public domain W3C validator