Theorem smflimsuplem6 43092

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem6.a	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smflimsuplem6.b	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smflimsuplem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem6.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
smflimsuplem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem6.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	fvexi 6679	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
4	3	mptexd 6981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5		fvexd 6680	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6		smflimsuplem6.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		smflimsuplem6.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
8		smflimsuplem6.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		smflimsuplem6.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		smflimsuplem6.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11		smflimsuplem6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12		smflimsuplem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13		smflimsuplem6.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14		smflimsuplem6.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
15		smflimsuplem6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))
16	6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	smflimsuplem5 43091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
17		fvexd 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
18	1	eluzelz2 41668	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
21	1	eleq2i 2904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		uzss 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
25	24, 1	sseqtrrdi 4018	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
26	14, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
27		ssid 3989	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
29		fvexd 6680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑋) ∈ V)
30	6, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29	climeqmpt 41970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))))
31	16, 30	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
32		breldmg 5773	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
33	4, 5, 31, 32	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  ∩ ciin 4913   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  dom cdm 5550  ran crn 5551  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  supcsup 8898  ℝcr 10530  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  lim supclsp 14821   ⇝ cli 14835  SAlgcsalg 42586  SMblFncsmblfn 42970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fl 13156  df-ceil 13157  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-smblfn 42971

This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  43093