Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem3 41321
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem3.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem3.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem3.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem3.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem3.l (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
smfmullem3.x 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem3.y 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
Assertion
Ref Expression
smfmullem3 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑞   𝑈,𝑞,𝑢,𝑣   𝑉,𝑞,𝑢,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem smfmullem3
Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfmullem3.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2 smfmullem3.y . . . . . . . 8 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
4 1rp 11874 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
6 smfmullem3.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8 smfmullem3.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
9 smfmullem3.v . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
101, 9remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
11 smfmullem3.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
12 difrp 11906 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
1310, 11, 12syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
148, 13mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
15 1re 10077 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
171recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
1817abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
199recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
2019abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
2216, 21readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
23 0re 10078 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
255rpgt0d 11913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
26 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2717absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
2819absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
2918, 20addge01d 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3028, 29mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
3126, 18, 21, 27, 30letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
3216, 21addge01d 10653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
3331, 32mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3424, 16, 22, 25, 33ltletrd 10235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3522, 34elrpd 11907 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
3614, 35rpdivcld 11927 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
377, 36eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
385, 37ifcld 4164 . . . . . . 7 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
393, 38eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
4039rpred 11910 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
411, 40resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ)
4241rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ*)
431rexrd 10127 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
441, 39ltsubrpd 11942 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) < 𝑈)
4542, 43, 44qelioo 40091 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
461, 40readdcld 10107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
4746rexrd 10127 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
481, 39ltaddrpd 11943 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑌))
4943, 47, 48qelioo 40091 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
5049ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
51 simp-4l 823 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑)
529, 40resubcld 10496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ)
5352rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ*)
549rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ ℝ*)
559, 39ltsubrpd 11942 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑌) < 𝑉)
5653, 54, 55qelioo 40091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
5751, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
5851ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑)
599, 40readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
6059rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
619, 39ltaddrpd 11943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 < (𝑉 + 𝑌))
6254, 60, 61qelioo 40091 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6411ad8antr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65 smfmullem3.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
661ad8antr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
679ad8antr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ)
688ad8antr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
69 simp-8r 832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ)
70 simp-6r 828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ)
71 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ)
72 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ)
73 simp-7r 830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
74 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
75 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
76 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
7764, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2smfmullem2 41320 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
7877ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
7978rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8063, 79mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8180ex 449 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) → (𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8281rexlimdva 3060 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8357, 82mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8483ex 449 . . . . . 6 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8584rexlimdva 3060 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8650, 85mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8786ex 449 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8887rexlimdva 3060 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8945, 88mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  cq 11826  +crp 11870  (,)cioo 12213  ...cfz 12364  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-s4 13641  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  smfmullem4  41322
  Copyright terms: Public domain W3C validator