smfmullem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem smfmullem4 43076

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smfmullem4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmullem4.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmullem4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmullem4.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑_m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})

**Assertion**
Ref	Expression
smfmullem4	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥 𝐵,𝑞,𝑢,𝑣 𝐶,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥 𝐷,𝑞,𝑢,𝑣 𝐾,𝑞,𝑥 𝑅,𝑞,𝑢,𝑣 𝑆,𝑞 𝜑,𝑞,𝑢,𝑣 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝑆(𝑥,𝑣,𝑢) 𝐸(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞) 𝐾(𝑣,𝑢) 𝑉(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)

**Proof of Theorem smfmullem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmullem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		smfmullem4.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑_m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
5		inss1 4207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7	6	sselda 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		smfmullem4.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	syldan 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		elinel2 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfmullem4.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐷 ∈ ℝ)
16		simp3 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
17		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))) = ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))
18		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))) = if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))))
19	3, 4, 10, 15, 16, 17, 18	smfmullem3 43075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
20		rabid 3380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
21	20	bicomi 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
22	21	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
23	22	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
24	23	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
25		smfmullem4.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}))
27		inrab 4277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
28		smfmullem4.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
29		smfmullem4.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
30	29, 6	ssexd 5230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
31		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶))
32	28, 30, 31	subsalsal 42649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33	32	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
34		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ 𝐾
35	1, 34	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾)
36	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
37	30	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
38	9	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		smfmullem4.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40	28, 39, 6	sssmfmpt 43034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	40	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42		ssrab2 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {𝑞 ∈ (ℚ ↑_m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} ⊆ (ℚ ↑_m (0...3))
43	4, 42	eqsstri 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℚ ↑_m (0...3))
44		reex 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℝ ∈ V
45		qssre 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
46		mapss 8455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑_m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑_m (0...3)))
47	44, 45, 46	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ℚ ↑_m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑_m (0...3))
48	43, 47	sstri 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℝ ↑_m (0...3))
49		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ 𝐾)
50	48, 49	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ (ℝ ↑_m (0...3)))
51	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ℝ ∈ V)
52		ovexd 7193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (0...3) ∈ V)
53	51, 52	elmapd 8422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞 ∈ (ℝ ↑_m (0...3)) ↔ 𝑞:(0...3)⟶ℝ))
54	50, 53	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞:(0...3)⟶ℝ)
55		0z 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℤ
56		3z 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 3 ∈ ℤ
57		0re 10645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		3re 11720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℝ
59		3pos 11745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 < 3
60	57, 58, 59	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ≤ 3
61	55, 56, 60	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3)
62		eluz2 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
63	61, 62	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ (ℤ_≥‘0)
64		eluzfz1 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...3))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ (0...3)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 0 ∈ (0...3))
67	54, 66	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
68	67	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ^*)
70		0le1 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 1
71		1re 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℝ
72		1lt3 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 3
73	71, 58, 72	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ≤ 3
74	70, 73	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)
75		1z 12015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℤ
76		elfz 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)))
77	75, 55, 56, 76	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3))
78	74, 77	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ (0...3)
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 1 ∈ (0...3))
80	54, 79	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
82	81	rexrd 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ^*)
83	35, 36, 37, 38, 41, 69, 82	smfpimioompt 43068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))
84	14	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
85		smfmullem4.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
86	1, 12	ssdf 41346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
87	28, 85, 86	sssmfmpt 43034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
88	87	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		0le2 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 2
90		2re 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
91		2lt3 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 < 3
92	90, 58, 91	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ≤ 3
93	89, 92	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)
94		2z 12017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		elfz 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)))
96	94, 55, 56, 95	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3))
97	93, 96	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ (0...3)
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 2 ∈ (0...3))
99	54, 98	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
100	99	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
101	100	rexrd 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ^*)
102		eluzfz2 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘0) → 3 ∈ (0...3))
103	63, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ (0...3)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 3 ∈ (0...3))
105	54, 104	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
106	105	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
107	106	rexrd 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ^*)
108	35, 36, 37, 84, 88, 101, 107	smfpimioompt 43068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))} ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))
109	33, 83, 108	salincld 42642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))
110	27, 109	eqeltrrid 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))
111	110	elexd 3516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ V)
112	26, 111	fvmpt2d 6783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
113	112	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
114	113	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
115	114	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
116	24, 115	eleqtrd 2917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
117	116	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
118	117	3adantl3 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
119	118	reximdva 3276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
120	19, 119	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
121		eliun 4925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
122	120, 121	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
123	122	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → ((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))))
124	1, 123	ralrimi 3218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
125	34	nfci 2966	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
126		nfrab1 3386	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
127	125, 126	nfmpt 5165	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
128	25, 127	nfcxfr 2977	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
129		nfcv 2979	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑞
130	128, 129	nffv 6682	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐸‘𝑞)
131	125, 130	nfiun 4951	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)
132	131	rabssf 41392	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
133	124, 132	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
134		ssrab2 4058	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
135	112, 134	eqsstrdi 4023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
136		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
137	112	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
138	136, 137	eleqtrd 2917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
139		rabidim2 41375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
141	140	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
142	140	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
143	49, 4	eleqtrdi 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑_m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅})
144		rabidim2 41375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑_m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
146	145	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
147		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (𝐵 · 𝑣))
148	147	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
149	148	ralbidv 3199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
150	149	rspcva 3623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
151	142, 146, 150	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
152		oveq2 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → (𝐵 · 𝑣) = (𝐵 · 𝐷))
153	152	breq1d 5078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → ((𝐵 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
154	153	rspcva 3623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
155	141, 151, 154	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
156	155	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
157	35, 156	ralrimi 3218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
158	135, 157	jca 514	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
159		nfcv 2979	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∩ 𝐶)
160	130, 159	ssrabf 41388	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ↔ ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
161	158, 160	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
162	161	iunssd 4976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
163	133, 162	eqssd 3986	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
164		ovex 7191	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑_m (0...3)) ∈ V
165		ssdomg 8557	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ↑_m (0...3)) ∈ V → (𝐾 ⊆ (ℚ ↑_m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑_m (0...3))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ⊆ (ℚ ↑_m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑_m (0...3)))
167	43, 166	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ≼ (ℚ ↑_m (0...3))
168		qct 41637	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≼ ω
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℚ ≼ ω)
170		fzfid 13344	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
171	169, 170	mpct 41471	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℚ ↑_m (0...3)) ≼ ω)
172	171	mptru 1544	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑_m (0...3)) ≼ ω
173		domtr 8564	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ≼ (ℚ ↑_m (0...3)) ∧ (ℚ ↑_m (0...3)) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
174	167, 172, 173	mp2an 690	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≼ ω
175	174	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
176	110, 25	fmptd 6880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐾⟶(𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))
177	176	ffvelrnda 6853	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))
178	32, 175, 177	saliuncl 42614	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))
179	163, 178	eqeltrd 2915	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾_t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ⊤wtru 1538 Ⅎwnf 1784 ∈ wcel 2114 ∀wral 3140 ∃wrex 3141 {crab 3144 Vcvv 3496 ∩ cin 3937 ⊆ wss 3938 ifcif 4469 ∪ ciun 4921 class class class wbr 5068 ↦ cmpt 5148 ⟶wf 6353 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 ωcom 7582 ↑_m cmap 8408 ≼ cdom 8509 ℝcr 10538 0cc0 10539 1c1 10540 + caddc 10542 · cmul 10544 < clt 10677 ≤ cle 10678 − cmin 10872 / cdiv 11299 2c2 11695 3c3 11696 ℤcz 11984 ℤ_≥cuz 12246 ℚcq 12351 (,)cioo 12741 ...cfz 12895 abscabs 14595 ↾_t crest 16696 SAlgcsalg 42600 SMblFncsmblfn 42984

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-rep 5192 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-inf2 9106 ax-cc 9859 ax-ac2 9887 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616 ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-int 4879 df-iun 4923 df-iin 4924 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-se 5517 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-isom 6366 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-1o 8104 df-oadd 8108 df-omul 8109 df-er 8291 df-map 8410 df-pm 8411 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-fin 8515 df-sup 8908 df-inf 8909 df-oi 8976 df-card 9370 df-acn 9373 df-ac 9544 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-3 11704 df-4 11705 df-n0 11901 df-z 11985 df-uz 12247 df-q 12352 df-rp 12393 df-ioo 12745 df-ico 12747 df-icc 12748 df-fz 12896 df-fzo 13037 df-fl 13165 df-seq 13373 df-exp 13433 df-hash 13694 df-word 13865 df-concat 13925 df-s1 13952 df-s2 14212 df-s3 14213 df-s4 14214 df-cj 14460 df-re 14461 df-im 14462 df-sqrt 14596 df-abs 14597 df-rest 16698 df-salg 42601 df-smblfn 42985

This theorem is referenced by: smfmul 43077

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