Theorem smfpimbor1 43069

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimbor1

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimbor1.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimbor1.a	. 2 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4		smfpimbor1.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5		smfpimbor1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
6		smfpimbor1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
7		smfpimbor1.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
8		eqid 2821	. 2 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	smfpimbor1lem2 43068	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  𝒫 cpw 4538  ^◡ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550   “ cima 5552  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  (,)cioo 12732   ↾_t crest 16688  topGenctg 16705  SAlgcsalg 42587  SalGencsalgen 42591  SMblFncsmblfn 42971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-fl 13156  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-top 21496  df-bases 21548  df-salg 42588  df-salgen 42592  df-smblfn 42972

This theorem is referenced by:  smfco  43071  smfpimcc  43076