Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimbor1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimbor1lem2 40300
Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimbor1lem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e (𝜑𝐸𝐵)
smfpimbor1lem2.p 𝑃 = (𝐹𝐸)
smfpimbor1lem2.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfpimbor1lem2 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimbor1lem2.p . 2 𝑃 = (𝐹𝐸)
2 smfpimbor1lem2.j . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 22470 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2700 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 smfpimbor1lem2.b . . . . . 6 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7 smfpimbor1lem2.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfpimbor1lem2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9 smfpimbor1lem2.a . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
10 smfpimbor1lem2.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
117, 8, 9, 10smfresal 40289 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
127adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
138adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
1512, 13, 9, 2, 14, 10smfpimbor1lem1 40299 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝑇)
1615ssd 38723 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑇)
17 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑥
18 nfrab1 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
1910, 18nfcxfr 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑇
2017, 19eluni2f 38757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 ↔ ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2120biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2219nfuni 4413 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒 𝑇
2317, 22nfel 2779 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 𝑇
24 nfv 1845 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 ∈ ℝ
2510eleq2i 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
2625biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
27 rabidim1 38760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒𝑇𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29 elpwi 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒𝑇𝑒 ⊆ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥𝑒)
3331, 32sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
3433ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 → (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ)))
3623, 24, 35rexlimd 3024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → (∃𝑒𝑇 𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3721, 36mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
3837rgen 2922 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39 dfss3 3578 . . . . . . . . . 10 ( 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39mpbir 221 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑇 ⊆ ℝ)
42 uniretop 22471 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
432eqcomi 2635 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4443unieqi 4416 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4542, 44eqtr2i 2649 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = ℝ)
4746eqcomd 2632 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ = 𝐽)
4816unissd 4433 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐽 𝑇)
4947, 48eqsstrd 3623 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝑇)
5041, 49eqssd 3605 . . . . . . 7 (𝜑 𝑇 = ℝ)
5150, 46eqtr4d 2663 . . . . . 6 (𝜑 𝑇 = 𝐽)
525, 6, 11, 16, 51salgenss 39848 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑇)
53 smfpimbor1lem2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
5452, 53sseldd 3589 . . . 4 (𝜑𝐸𝑇)
55 imaeq2 5425 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝐸))
5655eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5756, 10elrab2 3353 . . . 4 (𝐸𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5854, 57sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5958simprd 479 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷))
601, 59syl5eqel 2708 1 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  wss 3560  𝒫 cpw 4135   cuni 4407  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cima 5082  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  (,)cioo 12114  t crest 15997  topGenctg 16014  Topctop 20612  SAlgcsalg 39822  SalGencsalgen 39826  SMblFncsmblfn 40203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-ac2 9230  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-ac 8884  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-fl 12530  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-top 20616  df-bases 20617  df-salg 39823  df-salgen 39827  df-smblfn 40204
This theorem is referenced by:  smfpimbor1  40301
  Copyright terms: Public domain W3C validator