Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxr 40325
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxr.x 𝑥𝐹
smfpimgtxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxr (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4626 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑥)))
21rabbidv 3181 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)})
32adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)})
4 smfpimgtxr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
5 smfpimgtxr.x . . . . . . . . . 10 𝑥𝐹
65nfdm 5337 . . . . . . . . 9 𝑥dom 𝐹
74, 6nfcxfr 2759 . . . . . . . 8 𝑥𝐷
8 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑦𝐷
9 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑦-∞ < (𝐹𝑥)
10 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥-∞
11 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥 <
12 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
135, 12nffv 6165 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐹𝑦)
1410, 11, 13nfbr 4669 . . . . . . . 8 𝑥-∞ < (𝐹𝑦)
15 fveq2 6158 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1615breq2d 4635 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑦)))
177, 8, 9, 14, 16cbvrab 3188 . . . . . . 7 {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)}
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)})
19 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑦𝜑
20 smfpimgtxr.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21 smfpimgtxr.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2220, 21, 4smff 40278 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
2523, 24ffvelrnd 6326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
2619, 25pimgtmnf 40269 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)} = 𝐷)
27 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = 𝐷)
2818, 26, 273eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
2928adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
303, 29eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
3120, 21, 4smfdmss 40279 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 𝑆)
3220, 31restuni4 38829 . . . . . 6 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
3332eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
3421dmexd 38931 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
354, 34syl5eqel 2702 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
36 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
3720, 35, 36subsalsal 39914 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
3837salunid 39908 . . . . 5 (𝜑 (𝑆t 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
3933, 38eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
4039adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
4130, 40eqeltrd 2698 . 2 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
42 neqne 2798 . . . 4 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
4342adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
44 breq1 4626 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ +∞ < (𝐹𝑥)))
4544rabbidv 3181 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)})
4645adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)})
475, 22pimgtpnf2 40254 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)} = ∅)
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)} = ∅)
4946, 48eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = ∅)
50370sald 39905 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
5150adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
5249, 51eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
5352adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
54 simpll 789 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
55 smfpimgtxr.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
57 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
58 neqne 2798 . . . . . . 7 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
5958adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
6056, 57, 59xrred 39080 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
6221adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
63 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
645, 61, 62, 4, 63smfpreimagtf 40313 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6554, 60, 64syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6653, 65pm2.61dan 831 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6743, 66syldan 487 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6841, 67pm2.61dan 831 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wnfc 2748  wne 2790  {crab 2912  Vcvv 3190  c0 3897   cuni 4409   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  t crest 16021  SAlgcsalg 39865  SMblFncsmblfn 40246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-ac2 9245  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-card 8725  df-acn 8728  df-ac 8899  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-fl 12549  df-rest 16023  df-salg 39866  df-smblfn 40247
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  40329
  Copyright terms: Public domain W3C validator