Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxrmpt 40325
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxrmpt.x 𝑥𝜑
smfpimgtxrmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxrmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimgtxrmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxrmpt.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxrmpt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxrmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4712 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5332 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2761 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1840 . . . . 5 𝑦 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
5 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥𝐿
6 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥 <
7 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥𝑦
81, 7nffv 6160 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
95, 6, 8nfbr 4664 . . . . 5 𝑥 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
10 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq2d 4630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
122, 3, 4, 9, 11cbvrab 3187 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)})
14 nfcv 2761 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimgtxrmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimgtxrmpt.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2621 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimgtxrmpt.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimgtxr 40321 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimgtxrmpt.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
23 smfpimgtxrmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2421, 22, 23dmmptdf 38922 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
25 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥𝐴
262, 25rabeqf 3181 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
2822a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
2928, 23fvmpt2d 6255 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3029breq2d 4630 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
3121, 30rabbida 38792 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
32 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
3327, 31, 323eqtrrd 2660 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
3424eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3534oveq2d 6626 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3633, 35eleq12d 2692 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3720, 36mpbird 247 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  {crab 2911   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  *cxr 10025   < clt 10026  t crest 16013  SAlgcsalg 39861  SMblFncsmblfn 40242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209  ax-ac2 9237  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-card 8717  df-acn 8720  df-ac 8891  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-fl 12541  df-rest 16015  df-salg 39862  df-smblfn 40243
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  40326
  Copyright terms: Public domain W3C validator