Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioo 40331
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioo.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioo (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimioo.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smfpimioo.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpimioo.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
41, 2, 3smff 40278 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
54feqmptd 6216 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
65cnveqd 5268 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
76imaeq1d 5434 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥))
98mptpreima 5597 . . . 4 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
117, 10eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12 nfv 1840 . . 3 𝑥𝜑
131uniexd 38803 . . . 4 (𝜑 𝑆 ∈ V)
141, 2, 3smfdmss 40279 . . . 4 (𝜑𝐷 𝑆)
1513, 14ssexd 4775 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
164ffvelrnda 6325 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
175, 2eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 smfpimioo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
19 smfpimioo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2012, 1, 15, 16, 17, 18, 19smfpimioompt 40330 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆t 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  Vcvv 3190   cuni 4409  cmpt 4683  ccnv 5083  dom cdm 5084  cima 5087  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  *cxr 10033  (,)cioo 12133  t crest 16021  SAlgcsalg 39865  SMblFncsmblfn 40246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-ac2 9245  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-card 8725  df-acn 8728  df-ac 8899  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-fl 12549  df-rest 16023  df-salg 39866  df-smblfn 40247
This theorem is referenced by:  smfres  40334  smfpimbor1lem1  40342
  Copyright terms: Public domain W3C validator