Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxr 40719
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxr.x 𝑥𝐹
smfpimltxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxr (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4648 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < +∞))
21rabbidv 3184 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞})
32adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞})
4 smfpimltxr.x . . . . . 6 𝑥𝐹
5 smfpimltxr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 smfpimltxr.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 smfpimltxr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
84, 6, 7issmff 40706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
95, 8mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
109simp2d 1072 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
114, 10pimltpnf2 40686 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞} = 𝐷)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞} = 𝐷)
13 eqidd 2621 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → 𝐷 = 𝐷)
143, 12, 133eqtrd 2658 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
159simp1d 1071 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 𝑆)
166, 15restuni4 39124 . . . . . 6 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
1716eqcomd 2626 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
185dmexd 39238 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
197, 18syl5eqel 2703 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
20 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
216, 19, 20subsalsal 40340 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2221salunid 40334 . . . . 5 (𝜑 (𝑆t 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
2317, 22eqeltrd 2699 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2423adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2514, 24eqeltrd 2699 . 2 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
26 neqne 2799 . . . 4 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
2726adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
28 breq2 4648 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < -∞))
2928rabbidv 3184 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
3110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
324, 31pimltmnf2 40674 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
3330, 32eqtrd 2654 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = ∅)
34210sald 40331 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3633, 35eqeltrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpll 789 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
39 smfpimltxr.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41 neqne 2799 . . . . . . 7 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
4241adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
43 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
4440, 42, 43xrred 39394 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
456adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
465adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
47 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
484, 45, 46, 7, 47smfpreimaltf 40708 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
4938, 44, 48syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5037, 49pm2.61dan 831 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5127, 50syldan 487 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5225, 51pm2.61dan 831 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wnfc 2749  wne 2791  wral 2909  {crab 2913  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907   cuni 4427   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  +∞cpnf 10056  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  t crest 16062  SAlgcsalg 40291  SMblFncsmblfn 40672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-acn 8753  df-ac 8924  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-rest 16064  df-salg 40292  df-smblfn 40673
This theorem is referenced by:  smfpimltxrmpt  40730
  Copyright terms: Public domain W3C validator