Theorem smfpimltxr 43031

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimltxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < +∞))
2	1	rabbidv 3482	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞})
3	2	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞})
4		smfpimltxr.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfpimltxr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		smfpimltxr.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfpimltxr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
8	4, 6, 7	issmff 43018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
9	5, 8	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
10	9	simp2d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
11	4, 10	pimltpnf2 42998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞} = 𝐷)
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞} = 𝐷)
13		eqidd 2824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐷 = 𝐷)
14	3, 12, 13	3eqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
15	9	simp1d 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
16	6, 15	restuni4 41394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
17	16	eqcomd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
18	5	dmexd 7617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
19	7, 18	eqeltrid 2919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
21	6, 19, 20	subsalsal 42649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
22	21	salunid 42643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
23	17, 22	eqeltrd 2915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
24	23	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
25	14, 24	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
26		neqne 3026	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
27	26	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
28		breq2 5072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < -∞))
29	28	rabbidv 3482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
30	29	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
31	10	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
32	4, 31	pimltmnf2 42986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)
33	30, 32	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = ∅)
34	21	0sald 42640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	34	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36	33, 35	eqeltrd 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
37	36	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
39		smfpimltxr.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41		neqne 3026	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
42	41	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
43		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
44	40, 42, 43	xrred 41640	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
46	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
47		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
48	4, 45, 46, 7, 47	smfpreimaltf 43020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
49	38, 44, 48	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
50	37, 49	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
51	27, 50	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	25, 51	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2963   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  {crab 3144  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ∪ cuni 4840   class class class wbr 5068  dom cdm 5557  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ↾_t crest 16696  SAlgcsalg 42600  SMblFncsmblfn 42984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-ac2 9887  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9544  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-rest 16698  df-salg 42601  df-smblfn 42985

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmpt  43042