Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpreimage Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpreimage 41496
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of a closed interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpreimage.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimage.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimage.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimage.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfpreimage (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimage
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpreimage.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 smfpreimage.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpreimage.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfpreimage.d . . . . 5 𝐷 = dom 𝐹
53, 4issmfge 41484 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))))
62, 5mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
76simp3d 1139 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
8 breq1 4807 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐹𝑥)))
98rabbidv 3329 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)})
109eleq1d 2824 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110rspcva 3447 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)) → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
121, 7, 11syl2anc 696 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  wss 3715   cuni 4588   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  cle 10267  t crest 16283  SAlgcsalg 41031  SMblFncsmblfn 41415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fl 12787  df-rest 16285  df-salg 41032  df-smblfn 41416
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator