Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem1 40786
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem1.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem1.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem1.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem1.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfsuplem1.h (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
smfsuplem1.i ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑛,𝐺,𝑥   𝑛,𝐻,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem1
StepHypRef Expression
1 smfsuplem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
43ffvelrnda 6357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
62, 4, 5smff 40710 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
76ffnd 6044 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
87adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛))
9 smfsuplem1.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
10 ssrab2 3685 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
119, 10eqsstri 3633 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
12 iinss2 4570 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
1311, 12syl5ss 3612 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
1413ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐷 ⊆ dom (𝐹𝑛))
15 cnvimass 5483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ dom 𝐺
1615sseli 3597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
18 nfv 1842 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
19 smfsuplem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 uzid 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
22 smfsuplem1.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑀)
2321, 22syl6eleqr 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀𝑍)
2423ne0d 39134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
266adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2712adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2811sseli 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3027, 29sseldd 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3130adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3226, 31ffvelrnd 6358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
339rabeq2i 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3433simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3618, 25, 32, 35suprclrnmpt 39288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
37 smfsuplem1.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
3836, 37fmptd 6383 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
3938fdmd 39242 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐷)
4039ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → dom 𝐺 = 𝐷)
4117, 40eleqtrd 2702 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥𝐷)
4214, 41sseldd 3602 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
43 mnfxr 10093 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
45 smfsuplem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4645rexrd 10086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4746ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4832an32s 846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4941, 48syldan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5049rexrd 10086 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
5149mnfltd 11955 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ < ((𝐹𝑛)‘𝑥))
5216adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
5338ffdmd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
5453ffvelrnda 6357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5552, 54syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5655adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
5745ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 an32 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
5958biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍))
6018, 32, 35suprubrnmpt 39290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
6362, 36fvmpt2d 6291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6463adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6561, 64breqtrrd 4679 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6641, 65syldan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
6743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
6846adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
7038ffnd 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn 𝐷)
71 elpreima 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn 𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
7469, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
7574simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
7667, 68, 75iocleubd 39595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7776adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
7849, 56, 57, 66, 77letrd 10191 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
7944, 47, 50, 51, 78eliocd 39539 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
808, 42, 79elpreimad 39276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
8180ssd 39078 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
82 smfsuplem1.i . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
83 inss1 3831 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ⊆ (𝐻𝑛)
8482, 83syl6eqss 3653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8581, 84sstrd 3611 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8685ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
87 ssiin 4568 . . . . 5 ((𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ (𝐻𝑛))
8886, 87sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐻𝑛))
8915, 39syl5sseq 3651 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ 𝐷)
9088, 89ssind 3835 . . 3 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ⊆ ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
91 iniin1 39135 . . . . 5 (𝑍 ≠ ∅ → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9224, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9370adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐷)
94 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
9523adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑀𝑍)
96 fveq2 6189 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝐻𝑛) = (𝐻𝑀))
9796ineq1d 3811 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
9897eleq2d 2686 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)))
9994, 95, 98eliind 39066 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷))
100 elinel2 3798 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
10243a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
10346adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10463, 36eqeltrd 2700 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
105104rexrd 10086 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
106101, 105syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
107100adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
108107, 104syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
109108mnfltd 11955 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐻𝑀) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
11099, 109syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → -∞ < (𝐺𝑥))
111101, 63syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
112 nfv 1842 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
113 nfcv 2763 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
114 nfii1 4549 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
115113, 114nfel 2776 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
116112, 115nfan 1827 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
117 simpll 790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
118 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
119 eliinid 39120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
120119adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
121 elinel1 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
1221213ad2ant3 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑛))
123 elinel2 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
124123adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥𝐷)
12530ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
126124, 125syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
1271263adant1 1078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
128122, 127elind 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
129823adant3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐻𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
130128, 129eleqtrrd 2703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
13143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → -∞ ∈ ℝ*)
132463ad2ant1 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
133 simp3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)))
134 elpreima 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑛) Fn dom (𝐹𝑛) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1357, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
1361353adant3 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))))
137133, 136mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∧ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴)))
138137simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
139131, 132, 138iocleubd 39595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴))) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
140130, 139syld3an3 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
141117, 118, 120, 140syl3anc 1325 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
142141ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝑛𝑍 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
143116, 142ralrimi 2956 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴)
14424adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑍 ≠ ∅)
145101, 32syldanl 735 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
146101, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
14745adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
148116, 144, 145, 146, 147suprleubrnmpt 39468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝐴))
149143, 148mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ≤ 𝐴)
150111, 149eqbrtrd 4673 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
151102, 103, 106, 110, 150eliocd 39539 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → (𝐺𝑥) ∈ (-∞(,]𝐴))
15293, 101, 151elpreimad 39276 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
153152ssd 39078 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15492, 153eqsstrd 3637 . . 3 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)))
15590, 154eqssd 3618 . 2 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷))
156 eqid 2621 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
157 fvex 6199 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑛) ∈ V
158157dmex 7096 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝑛) ∈ V
159158rgenw 2923 . . . . . . 7 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V
160159a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
16124, 160iinexd 39144 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∈ V)
162156, 161rabexd 4812 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ∈ V)
1639, 162syl5eqel 2704 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
16422uzct 39058 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
165164a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ≼ ω)
166 smfsuplem1.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑍𝑆)
167166ffvelrnda 6357 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
1681, 165, 24, 167saliincl 40314 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∈ 𝑆)
169 eqid 2621 . . 3 ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) = ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷)
1701, 163, 168, 169elrestd 39117 . 2 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐻𝑛) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
171155, 170eqeltrd 2700 1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wrex 2912  {crab 2915  Vcvv 3198  cin 3571  wss 3572  c0 3913   ciin 4519   class class class wbr 4651  cmpt 4727  ccnv 5111  dom cdm 5112  ran crn 5113  cima 5115   Fn wfn 5881  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  ωcom 7062  cdom 7950  supcsup 8343  cr 9932  -∞cmnf 10069  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072  cz 11374  cuz 11684  (,]cioc 12173  t crest 16075  SAlgcsalg 40297  SMblFncsmblfn 40678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-omul 7562  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-oi 8412  df-card 8762  df-acn 8765  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-rest 16077  df-salg 40298  df-smblfn 40679
This theorem is referenced by:  smfsuplem2  40787
  Copyright terms: Public domain W3C validator