MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoiso2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoiso2 7330
Description: The strictly monotone ordinal functions are also epsilon isomorphisms of subclasses of On. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoiso2 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Proof of Theorem smoiso2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fof 6012 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 smo11 7325 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
31, 2sylan 486 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
4 simpl 471 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
5 df-f1o 5796 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴onto𝐵))
63, 4, 5sylanbrc 694 . . . . 5 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
76adantl 480 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
8 fofn 6014 . . . . . 6 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
9 smoord 7326 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦)))
10 epel 4941 . . . . . . . 8 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
11 fvex 6097 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑦) ∈ V
1211epelc 4940 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) E (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
139, 10, 123bitr4g 301 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
1413ralrimivva 2953 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
158, 14sylan 486 . . . . 5 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
1615adantl 480 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
17 df-isom 5798 . . . 4 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦))))
187, 16, 17sylanbrc 694 . . 3 (((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
1918ex 448 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
20 isof1o 6450 . . . . . . 7 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
21 f1ofo 6041 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
23223ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
24 smoiso 7323 . . . . 5 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → Smo 𝐹)
2523, 24jca 552 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹))
26253expib 1259 . . 3 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
2726com12 32 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
2819, 27impbid 200 1 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wral 2895  wss 3539   class class class wbr 4577   E cep 4936  Ord word 5624  Oncon0 5625   Fn wfn 5784  wf 5785  1-1wf1 5786  ontowfo 5787  1-1-ontowf1o 5788  cfv 5789   Isom wiso 5790  Smo wsmo 7306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-ord 5628  df-on 5629  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-smo 7307
This theorem is referenced by:  oismo  8305  cofsmo  8951
  Copyright terms: Public domain W3C validator