Theorem smumul 15836

Description: For sequences that correspond to valid integers, the sequence multiplication function produces the sequence for the product. This is effectively a proof of the correctness of the multiplication process, implemented in terms of logic gates for df-sad 15794, whose correctness is verified in sadadd 15810.

Outside this range, the sequences cannot be representing integers, but the smul function still "works". This extended function is best interpreted in terms of the ring structure of the 2-adic integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem smumul

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsss 15769	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2		bitsss 15769	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3		smucl 15827	. . . . . 6 ⊢ (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
5	4	sseli 3962	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
7		bitsss 15769	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ⊆ ℕ0
8	7	sseli 3962	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
10		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		1nn0 11907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
15	12, 14	nn0addcld 11953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16	10, 11, 15	smumullem 15835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
17	16	ineq1d 4187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
18		2nn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
20	19, 15	nnexpcld 13600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
21	10, 20	zmodcld 13254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℤ)
23	22, 11	zmulcld 12087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ)
24		bitsmod 15779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
25	23, 15, 24	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
26	17, 25	eqtr4d 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
27		inass 4195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
28		inidm 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (0..^(𝑘 + 1))
29	28	ineq2i 4185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
30	27, 29	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	oveq1i 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
32	31	ineq1i 4184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
33		inss1 4204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (bits‘𝐴)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
35	33, 34	sstrid 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ ℕ0)
36	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
37	35, 36, 15	smueq 15834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
38	34, 36, 15	smueq 15834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
39	32, 37, 38	3eqtr4a 2882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
40	20	nnrpd 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
41	10	zred 12081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		modabs2 13267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
43	41, 40, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
44		eqidd 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))))
45	22, 10, 11, 11, 40, 43, 44	modmul12d 13287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))))
46	45	fveq2d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
47	26, 39, 46	3eqtr3d 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
48	10, 11	zmulcld 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
49		bitsmod 15779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
50	48, 15, 49	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
51	47, 50	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
52	51	eleq2d 2898	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
53		elin 4168	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
54		elin 4168	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
55	52, 53, 54	3bitr3g 315	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
56		nn0uz 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
57	12, 56	eleqtrdi 2923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
58		eluzfz2b 12910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑘))
59	57, 58	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
60	12	nn0zd 12079	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
61		fzval3 13100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
63	59, 62	eleqtrd 2915	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
64	63	biantrud 534	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
65	63	biantrud 534	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
66	55, 64, 65	3bitr4d 313	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
67	66	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)))))
68	6, 9, 67	pm5.21ndd 383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
69	68	eqrdv 2819	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  ℕcn 11632  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℝ⁺crp 12383  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027   mod cmo 13231  ↑cexp 13423  bitscbits 15762   smul csmu 15764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1590  df-cad 1604  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-dvds 15602  df-bits 15765  df-sad 15794  df-smu 15819

This theorem is referenced by: (None)