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Theorem smupvallem 15820
Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
smupvallem (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 smuval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 smuval.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3smupf 15815 . . . . . 6 (𝜑𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5 smuval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 smupvallem.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
7 eluznn0 12305 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
94, 8ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
109elpwid 4549 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑀) ⊆ ℕ0)
1110sseld 3963 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
121, 2, 3smufval 15814 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13 ssrab2 4053 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
1412, 13eqsstrdi 4018 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3963 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
161ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
172ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
196adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
20 uztrn 12249 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2119, 20sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 15819 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃𝑀)))
2322bicomd 224 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
246ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
25 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝜑)
26 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁)))
2726imbi2d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))))
28 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
2928imbi2d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))))
30 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
3130imbi2d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
32 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
3332imbi2d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))))
34 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))
351adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37 eluznn0 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
385, 37sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3935, 36, 3, 38smupp1 15817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}))
405nn0red 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4238nn0red 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑘)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑘)
4541, 42, 44lensymd 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
4847sseld 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49 elfzolt2 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
5048, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 < 𝑁))
5150adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
5245, 51mtod 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
5352ralrimivw 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
54 rabeq0 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
5553, 54sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
5655oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃𝑘) sadd ∅))
574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5857, 38ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
5958elpwid 4549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ⊆ ℕ0)
60 sadid1 15805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6239, 56, 613eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑘))
6362eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
6463biimprd 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
6564expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
6665a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
6727, 29, 31, 33, 34, 66uzind4i 12298 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
6824, 25, 67sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))
69 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
7027, 29, 31, 31, 34, 66uzind4i 12298 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
7169, 25, 70sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))
7268, 71eqtr4d 2856 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
7372eleq2d 2895 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
741ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
752ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7774, 75, 3, 76smuval 15818 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
7873, 77bitr4d 283 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8079nn0zd 12073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
8180peano2zd 12078 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
825nn0zd 12073 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8382adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84 uztric 12254 . . . . . 6 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
8581, 83, 84syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
8623, 78, 85mpjaodan 952 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
8786ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
8811, 15, 87pm5.21ndd 381 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
8988eqrdv 2816 1 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021  seqcseq 13357   sadd csad 15757   smul csmu 15758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-fal 1541  df-had 1585  df-cad 1599  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-bits 15759  df-sad 15788  df-smu 15813
This theorem is referenced by:  smupval  15825
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