Theorem smuval2 15834

Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smuval2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
smuval2	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smuval2

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
2		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
3	2	eleq2d 2901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
4	3	bibi2d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
6		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑘))
7	6	eleq2d 2901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
8	7	bibi2d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))))
10		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
11	10	eleq2d 2901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
12	11	bibi2d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
13	12	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
14		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑀))
15	14	eleq2d 2901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))
16	15	bibi2d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀))))
17	16	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))))
18		smuval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
19		smuval.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
20		smuval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21		smuval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	18, 19, 20, 21	smuval 15833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
23	18	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
24	19	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
25		peano2nn0 11940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27		eluznn0 12320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	23, 24, 20, 28	smupp1 15832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
30	29	eleq2d 2901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)})))
31	23, 24, 20	smupf 15830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
32	31, 28	ffvelrnd 6855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
33	32	elpwid 4553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
34		ssrab2 4059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0)
36	26	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
37	33, 35, 36	sadeq 15824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
38		inrab2 4279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}
39		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
40	39	elin1d 4178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	21	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		1red 10645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
46	44, 45	readdcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
47	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48	47	nn0red 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
49	39	elin2d 4179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
50		elfzolt2 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
52		eluzle 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
54	41, 46, 48, 51, 53	ltletrd 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < 𝑘)
55	41, 48	ltnled 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑛 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑛))
56	54, 55	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑛)
57	24	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
58	57	sseld 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0))
59		nn0ge0 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑛 − 𝑘))
60	58, 59	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → 0 ≤ (𝑛 − 𝑘)))
61	41, 48	subge0d 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (0 ≤ (𝑛 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑛))
62	60, 61	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → 𝑘 ≤ 𝑛))
63	62	adantld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 ≤ 𝑛))
64	56, 63	mtod 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
65	64	ralrimiva 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
66		rabeq0 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
67	65, 66	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
68	38, 67	syl5eq 2871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅)
69	68	oveq2d 7175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅))
70		inss1 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (𝑃‘𝑘)
71	70, 33	sstrid 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
72		sadid1 15820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
74	69, 73	eqtrd 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
75	74	ineq1d 4191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
76		inass 4199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
77		inidm 4198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
78	77	ineq2i 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
79	76, 78	eqtri 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
80	75, 79	syl6eq 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
81	37, 80	eqtrd 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
82	81	eleq2d 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
83		elin 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
84		elin 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
85	82, 83, 84	3bitr3g 315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
86		nn0uz 12283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
87	42, 86	eleqtrdi 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
88		eluzfz2 12918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
90	42	nn0zd 12088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
91		fzval3 13109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
93	89, 92	eleqtrd 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
94	93	biantrud 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
95	93	biantrud 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
96	85, 94, 95	3bitr4d 313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
97	30, 96	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
98	97	bibi2d 345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))))
99	98	biimprd 250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
100	99	expcom 416	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
101	100	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
102	5, 9, 13, 17, 22, 101	uzind4i 12313	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀))))
103	1, 102	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  {crab 3145   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  ifcif 4470  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∈ cmpo 7161  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  seqcseq 13372   sadd csad 15772   smul csmu 15773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1502  df-tru 1539  df-fal 1549  df-had 1593  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-dvds 15611  df-bits 15774  df-sad 15803  df-smu 15828

This theorem is referenced by:  smupvallem  15835  smueqlem  15842