Theorem sn0topon 21002

Description: The singleton of the empty set is a topology on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sn0topon	⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)

Proof of Theorem sn0topon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 4486	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
2		0ex 4940	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		distopon 21001	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ (TopOn‘∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ (TopOn‘∅)
5	1, 4	eqeltrri 2834	1 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)

Syntax hints:   ∈ wcel 2137  Vcvv 3338  ∅c0 4056  𝒫 cpw 4300  {csn 4319  ‘cfv 6047  TopOnctopon 20915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fv 6055  df-top 20899  df-topon 20916

This theorem is referenced by:  sn0top  21003  0cnf  40591