MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snfbas 21610
Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
snfbas ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas
StepHypRef Expression
1 ssexg 4774 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
213adant2 1078 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3 simp2 1060 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4 snfil 21608 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
52, 3, 4syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6 filfbas 21592 . . 3 ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
9 elpw2g 4797 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
1093ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
118, 10mpbird 247 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
1211snssd 4316 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13 simp3 1061 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
14 fbasweak 21609 . 2 (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
157, 12, 13, 14syl3anc 1323 1 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  wss 3560  c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155  cfv 5857  fBascfbas 19674  Filcfil 21589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-fbas 19683  df-fil 21590
This theorem is referenced by:  isufil2  21652  ufileu  21663  filufint  21664  uffix  21665  flimclslem  21728
  Copyright terms: Public domain W3C validator