Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snlindsntorlem 41521
Description: Lemma for snlindsntor 41522. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ∀𝑠𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   · ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2627 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩})
2 fsng 6359 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
32adantll 749 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
41, 3mpbird 247 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠})
5 snssi 4313 . . . . . 6 (𝑠𝑆 → {𝑠} ⊆ 𝑆)
65adantl 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {𝑠} ⊆ 𝑆)
74, 6fssd 6016 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆)
8 snlindsntor.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝑅)
9 fvex 6160 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
108, 9eqeltri 2700 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
11 snex 4874 . . . . . 6 {𝑋} ∈ V
1210, 11pm3.2i 471 . . . . 5 (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
13 elmapg 7816 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆𝑚 {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
1412, 13mp1i 13 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆𝑚 {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
157, 14mpbird 247 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆𝑚 {𝑋}))
16 oveq1 6612 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}))
1716eqeq1d 2628 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍))
18 fveq1 6149 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓𝑋) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋))
1918eqeq1d 2628 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓𝑋) = 0 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ))
2017, 19imbi12d 334 . . . 4 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) ↔ (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 )))
21 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
22 snlindsntor.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
23 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
2421, 22, 8, 23lincvalsng 41467 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
25243expa 1262 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
2625eqeq1d 2628 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 · 𝑋) = 𝑍))
27 fvsng 6402 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
2827adantll 749 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
2928eqeq1d 2628 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0𝑠 = 0 ))
3026, 29imbi12d 334 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ((({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3120, 30sylan9bbr 736 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩}) → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3215, 31rspcdv 3303 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (∀𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3332ralrimdva 2968 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ∀𝑠𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  Vcvv 3191  wss 3560  {csn 4153  cop 4159  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Basecbs 15776  Scalarcsca 15860   ·𝑠 cvsca 15861  0gc0g 16016  LModclmod 18779   linC clinc 41455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-lmod 18781  df-linc 41457
This theorem is referenced by:  snlindsntor  41522
  Copyright terms: Public domain W3C validator