Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snmlff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmlff 31296
Description: The function 𝐹 from snmlval 31298 is a mapping from positive integers to real numbers in the range [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
snmlff.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
snmlff 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem snmlff
StepHypRef Expression
1 snmlff.f . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
2 fzfid 12767 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
3 ssrab2 3685 . . . . . . 7 {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)
4 ssfi 8177 . . . . . . 7 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 694 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
6 hashcl 13142 . . . . . 6 ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin → (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
87nn0red 11349 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ)
9 nndivre 11053 . . . 4 (((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
108, 9mpancom 703 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
117nn0ge0d 11351 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}))
12 nnre 11024 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
13 nngt0 11046 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
14 divge0 10889 . . . 4 ((((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵})) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
158, 11, 12, 13, 14syl22anc 1326 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
16 ssdomg 7998 . . . . . . . 8 ((1...𝑛) ∈ Fin → ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
172, 3, 16mpisyl 21 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛))
18 hashdom 13163 . . . . . . . 8 (({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (#‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
195, 2, 18syl2anc 693 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (#‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
2017, 19mpbird 247 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (#‘(1...𝑛)))
21 nnnn0 11296 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
22 hashfz1 13129 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑛)) = 𝑛)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑛)) = 𝑛)
2420, 23breqtrd 4677 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ 𝑛)
25 nncn 11025 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2625mulid1d 10054 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
2724, 26breqtrrd 4679 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1))
28 1red 10052 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29 ledivmul 10896 . . . . 5 (((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
308, 28, 12, 13, 29syl112anc 1329 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
3127, 30mpbird 247 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1)
32 0re 10037 . . . 4 0 ∈ ℝ
33 1re 10036 . . . 4 1 ∈ ℝ
3432, 33elicc2i 12236 . . 3 (((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ (((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∧ ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1))
3510, 15, 31, 34syl3anbrc 1245 . 2 (𝑛 ∈ ℕ → ((#‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1))
361, 35fmpti 6381 1 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1482  wcel 1989  {crab 2915  wss 3572   class class class wbr 4651  cmpt 4727  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  cdom 7950  Fincfn 7952  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   · cmul 9938   < clt 10071  cle 10072   / cdiv 10681  cn 11017  0cn0 11289  [,]cicc 12175  ...cfz 12323  cfl 12586   mod cmo 12663  cexp 12855  #chash 13112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-icc 12179  df-fz 12324  df-hash 13113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator