MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snstriedgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snstriedgval 26100
Description: The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 26104 for the (degenerated) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
snstrvtxval.v 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
Assertion
Ref Expression
snstriedgval (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem snstriedgval
StepHypRef Expression
1 iedgval 26049 . . 3 (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺))
21a1i 11 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺)))
3 necom 2973 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
4 fvex 6350 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
5 snstrvtxval.v . . . . 5 𝑉 ∈ V
6 snstrvtxval.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
74, 5, 6funsndifnop 6567 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
83, 7sylbi 207 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
98iffalsed 4229 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
10 snex 5045 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V)
126, 11syl5eqel 2831 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → 𝐺 ∈ V)
13 edgfndxid 26041 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
146, 12, 13mp2b 10 . . 3 (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
15 slotsbaseefdif 26043 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
1615nesymi 2977 . . . . . . 7 ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
18 fvex 6350 . . . . . . 7 (.ef‘ndx) ∈ V
1918elsn 4324 . . . . . 6 ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)} ↔ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
2017, 19sylnibr 318 . . . . 5 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)})
216dmeqi 5468 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
22 dmsnopg 5753 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
235, 22mp1i 13 . . . . . 6 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
2421, 23syl5eq 2794 . . . . 5 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx)})
2520, 24neleqtrrd 2849 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
26 ndmfv 6367 . . . 4 (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
2814, 27syl5eq 2794 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (.ef‘𝐺) = ∅)
292, 9, 283eqtrd 2786 1 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  Vcvv 3328  c0 4046  ifcif 4218  {csn 4309  cop 4315   × cxp 5252  dom cdm 5254  cfv 6037  2nd c2nd 7320  ndxcnx 16027  Basecbs 16030  .efcedgf 26037  iEdgciedg 26045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-edgf 26038  df-iedg 26047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator