MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snstriedgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snstriedgval 25825
Description: The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 25829 for the (degenerated) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
snstrvtxval.v 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
Assertion
Ref Expression
snstriedgval (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem snstriedgval
StepHypRef Expression
1 iedgval 25774 . . 3 (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺))
21a1i 11 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺)))
3 necom 2849 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
4 fvex 6160 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
5 snstrvtxval.v . . . . 5 𝑉 ∈ V
6 snstrvtxval.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
74, 5, 6funsndifnop 6371 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
83, 7sylbi 207 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
98iffalsed 4074 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
10 snex 4874 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V)
126, 11syl5eqel 2708 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → 𝐺 ∈ V)
13 edgfndxid 25766 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
146, 12, 13mp2b 10 . . 3 (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
15 slotsbaseefdif 25768 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
1615nesymi 2853 . . . . . . 7 ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
18 fvex 6160 . . . . . . 7 (.ef‘ndx) ∈ V
1918elsn 4168 . . . . . 6 ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)} ↔ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
2017, 19sylnibr 319 . . . . 5 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)})
216dmeqi 5290 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
22 dmsnopg 5568 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
235, 22mp1i 13 . . . . . 6 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
2421, 23syl5eq 2672 . . . . 5 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx)})
2520, 24neleqtrrd 2726 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
26 ndmfv 6176 . . . 4 (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
2814, 27syl5eq 2672 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (.ef‘𝐺) = ∅)
292, 9, 283eqtrd 2664 1 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153  cop 4159   × cxp 5077  dom cdm 5079  cfv 5850  2nd c2nd 7115  ndxcnx 15773  Basecbs 15776  .efcedgf 25762  iEdgciedg 25770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-edgf 25763  df-iedg 25772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator