MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snstrvtxval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snstrvtxval 26749
Description: The set of vertices of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See vtxvalsnop 26753 for the (degenerate) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 23-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
snstrvtxval.v 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
Assertion
Ref Expression
snstrvtxval (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem snstrvtxval
StepHypRef Expression
1 necom 3066 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
2 fvex 6676 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
3 snstrvtxval.v . . . . 5 𝑉 ∈ V
4 snstrvtxval.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
52, 3, 4funsndifnop 6905 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
61, 5sylbi 218 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
76iffalsed 4474 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺))
8 vtxval 26712 . . 3 (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺))
98a1i 11 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)))
1041strbas 16587 . . 3 (𝑉 ∈ V → 𝑉 = (Base‘𝐺))
113, 10mp1i 13 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
127, 9, 113eqtr4d 2863 1 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  ifcif 4463  {csn 4557  cop 4563   × cxp 5546  cfv 6348  1st c1st 7676  ndxcnx 16468  Basecbs 16471  Vtxcvtx 26708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-vtx 26710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator