Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snunico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snunico 12241
 Description: The closure of the open end of a right-open real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
snunico ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem snunico
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1060 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 iccid 12162 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
43uneq2d 3745 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5 simp1 1059 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simp3 1061 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
7 xrleid 11927 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
81, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
9 df-ico 12123 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 df-icc 12124 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
11 xrlenlt 10047 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
12 xrltle 11926 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
13123adant3 1079 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
1413adantrd 484 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵𝐵) → 𝑤𝐵))
15 xrletr 11933 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝑤) → 𝐴𝑤))
169, 10, 11, 10, 14, 15ixxun 12133 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
175, 1, 1, 6, 8, 16syl32anc 1331 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
184, 17eqtr3d 2657 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∪ cun 3553  {csn 4148   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019  [,)cico 12119  [,]cicc 12120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ico 12123  df-icc 12124 This theorem is referenced by:  prunioo  12243  iccpnfcnv  22651  iccpnfhmeo  22652  xrge0iifcnv  29761
 Copyright terms: Public domain W3C validator