Theorem spanss2 28332

Description: A subset of Hilbert space is included in its span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanss2	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))

Proof of Theorem spanss2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4527	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}
2		spanval 28320	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	syl5sseqr 3687	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4  {crab 2945   ⊆ wss 3607  ∩ cint 4507  ‘cfv 5926   ℋchil 27904   S_ℋ csh 27913  spancspn 27917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-map 7901  df-nn 11059  df-hlim 27957  df-sh 28192  df-ch 28206  df-span 28296

This theorem is referenced by:  shsupunss  28333  spanuni  28531