HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanun 27589
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanun ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))

Proof of Theorem spanun
StepHypRef Expression
1 uneq1 3716 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (𝐴𝐵) = (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵))
21fveq2d 6087 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (span‘(𝐴𝐵)) = (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)))
3 fveq2 6083 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (span‘𝐴) = (span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)))
43oveq1d 6537 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) + (span‘𝐵)))
52, 4eqeq12d 2619 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ((span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) + (span‘𝐵))))
6 uneq2 3717 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵) = (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
76fveq2d 6087 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))))
8 fveq2 6083 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (span‘𝐵) = (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
98oveq2d 6538 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) + (span‘𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) + (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))))
107, 9eqeq12d 2619 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ((span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) + (span‘𝐵)) ↔ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) + (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))))
11 sseq1 3583 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (𝐴 ⊆ ℋ ↔ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ))
12 sseq1 3583 . . . 4 ( ℋ = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ( ℋ ⊆ ℋ ↔ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ))
13 ssid 3581 . . . 4 ℋ ⊆ ℋ
1411, 12, 13elimhyp 4090 . . 3 if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ
15 sseq1 3583 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (𝐵 ⊆ ℋ ↔ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ))
16 sseq1 3583 . . . 4 ( ℋ = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ( ℋ ⊆ ℋ ↔ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ))
1715, 16, 13elimhyp 4090 . . 3 if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ
1814, 17spanuni 27588 . 2 (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) + (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
195, 10, 18dedth2h 4084 1 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  cun 3532  wss 3534  ifcif 4030  cfv 5785  (class class class)co 6522  chil 26961   + cph 26973  spancspn 26974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867  ax-hilex 27041  ax-hfvadd 27042  ax-hvcom 27043  ax-hvass 27044  ax-hv0cl 27045  ax-hvaddid 27046  ax-hfvmul 27047  ax-hvmulid 27048  ax-hvmulass 27049  ax-hvdistr1 27050  ax-hvdistr2 27051  ax-hvmul0 27052  ax-hfi 27121  ax-his1 27124  ax-his2 27125  ax-his3 27126  ax-his4 27127
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-sup 8203  df-inf 8204  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-icc 12004  df-seq 12614  df-exp 12673  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-topgen 15868  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-lm 20780  df-haus 20866  df-grpo 26492  df-gid 26493  df-ginv 26494  df-gdiv 26495  df-ablo 26547  df-vc 26562  df-nv 26610  df-va 26613  df-ba 26614  df-sm 26615  df-0v 26616  df-vs 26617  df-nmcv 26618  df-ims 26619  df-hnorm 27010  df-hvsub 27013  df-hlim 27014  df-sh 27249  df-ch 27263  df-ch0 27295  df-shs 27352  df-span 27353
This theorem is referenced by:  spanpr  27624  superpos  28398
  Copyright terms: Public domain W3C validator