HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanuni 28273
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanuni (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
2 spancl 28065 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ S )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐴) ∈ S
4 spanun.2 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ℋ
5 spancl 28065 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ S )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐵) ∈ S
73, 6shscli 28046 . . . . 5 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S
87shssii 27940 . . . 4 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9 spanss2 28074 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11 spanss2 28074 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13 unss12 3768 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
1410, 12, 13mp2an 707 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
153, 6shunssi 28097 . . . . 5 ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
1614, 15sstri 3596 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
17 spanss 28077 . . . 4 ((((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))))
188, 16, 17mp2an 707 . . 3 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
19 spanid 28076 . . . 4 (((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S → (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
207, 19ax-mp 5 . . 3 (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
2118, 20sseqtri 3621 . 2 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
223, 6shseli 28045 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
23 r2ex 3055 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
2422, 23bitri 264 . . . 4 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
25 vex 3192 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2625elspani 28272 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦)))
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦))
28 vex 3192 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
2928elspani 28272 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦))
3127, 30anbi12i 732 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
32 r19.26 3058 . . . . . . . 8 (∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
3331, 32bitr4i 267 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
34 r19.27v 3064 . . . . . . 7 ((∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
3533, 34sylanb 489 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
36 unss 3770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑦𝐵𝑦) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑦)
37 prth 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐵𝑦) → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
3836, 37syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
39 shaddcl 27944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦S𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦)
40393expib 1265 . . . . . . . . . . 11 (𝑦S → ((𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4138, 40sylan9r 689 . . . . . . . . . 10 ((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
42 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4342biimprd 238 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
4441, 43sylan9 688 . . . . . . . . 9 (((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
4544expl 647 . . . . . . . 8 (𝑦S → ((((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
4645ralimia 2945 . . . . . . 7 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
471, 4unssi 3771 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
48 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
4948elspani 28272 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
5146, 50sylibr 224 . . . . . 6 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5235, 51syl 17 . . . . 5 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5352exlimivv 1857 . . . 4 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5424, 53sylbi 207 . . 3 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5554ssriv 3591 . 2 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴𝐵))
5621, 55eqssi 3603 1 (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cun 3557  wss 3559  cfv 5852  (class class class)co 6610  chil 27646   + cva 27647   S csh 27655   + cph 27658  spancspn 27659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvmulass 27734  ax-hvdistr1 27735  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737  ax-hfi 27806  ax-his1 27809  ax-his2 27810  ax-his3 27811  ax-his4 27812
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-icc 12132  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-lm 20956  df-haus 21042  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-gdiv 27220  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-vs 27324  df-nmcv 27325  df-ims 27326  df-hnorm 27695  df-hvsub 27698  df-hlim 27699  df-sh 27934  df-ch 27948  df-ch0 27980  df-shs 28037  df-span 28038
This theorem is referenced by:  spanun  28274  spanunsni  28308  spansnji  28375
  Copyright terms: Public domain W3C validator