HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanval 28320
Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanval (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem spanval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 27984 . . . 4 ℋ ∈ V
21elpw2 4858 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
32biimpri 218 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℋ)
4 helsh 28230 . . . 4 ℋ ∈ S
5 sseq2 3660 . . . . 5 (𝑥 = ℋ → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ ℋ))
65rspcev 3340 . . . 4 (( ℋ ∈ S𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
74, 6mpan 706 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
8 intexrab 4853 . . 3 (∃𝑥S 𝐴𝑥 {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
97, 8sylib 208 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
10 sseq1 3659 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
1110rabbidv 3220 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
1211inteqd 4512 . . 3 (𝑦 = 𝐴 {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
13 df-span 28296 . . 3 span = (𝑦 ∈ 𝒫 ℋ ↦ {𝑥S𝑦𝑥})
1412, 13fvmptg 6319 . 2 ((𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ∧ {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V) → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
153, 9, 14syl2anc 694 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cint 4507  cfv 5926  chil 27904   S csh 27913  spancspn 27917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-map 7901  df-nn 11059  df-hlim 27957  df-sh 28192  df-ch 28206  df-span 28296
This theorem is referenced by:  spancl  28323  spanss2  28332  spanid  28334  spanss  28335  shsval3i  28375  elspani  28530
  Copyright terms: Public domain W3C validator