MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv2a 13707
Description: Symbols within the replacement region of a splice, expressed using the coordinates of the replacement region. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
splfv2a (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))

Proof of Theorem splfv2a
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13702 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1479 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7 elfznn0 12626 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11545 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
10 splfv2a.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11 elfzoelz 12664 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
1312zcnd 11675 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
149, 13addcomd 10430 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15 nn0uz 11915 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
168, 15syl6eleq 2849 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
17 eluzfz1 12541 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
19 elfzuz3 12532 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
203, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
21 elfzuz3 12532 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
222, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
23 uztrn 11896 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
2420, 22, 23syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
25 elfzuzb 12529 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
2616, 24, 25sylanbrc 701 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
27 swrdlen 13622 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
281, 18, 26, 27syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
299subid1d 10573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
3028, 29eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
3130oveq2d 6829 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) = (𝑋 + 𝐹))
3214, 31eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))))
336, 32fveq12d 6358 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
34 swrdcl 13618 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
351, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
36 ccatcl 13546 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
3735, 4, 36syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
38 swrdcl 13618 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
391, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
40 0nn0 11499 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
41 nn0addcl 11520 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
4240, 8, 41sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
43 fzoss1 12689 . . . . . . . 8 ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4443, 15eleq2s 2857 . . . . . . 7 ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
46 ccatlen 13547 . . . . . . . . 9 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
4735, 4, 46syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
4830oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
49 wrdfin 13509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Fin)
504, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
51 hashcl 13339 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Fin → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
5352nn0cnd 11545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
549, 53addcomd 10430 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
5547, 48, 543eqtrd 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
5655oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5745, 56sseqtr4d 3783 . . . . 5 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
588nn0zd 11672 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
59 fzoaddel 12715 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
6010, 58, 59syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
6157, 60sseldd 3745 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
6231, 61eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
63 ccatval1 13549 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
6437, 39, 62, 63syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
65 ccatval3 13551 . . 3 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (𝑅𝑋))
6635, 4, 10, 65syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (𝑅𝑋))
6733, 64, 663eqtrd 2798 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cop 4327  cotp 4329  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  0cc0 10128   + caddc 10131  cmin 10458  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479   substr csubstr 13481   splice csplice 13482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-substr 13489  df-splice 13490
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18115
  Copyright terms: Public domain W3C validator