MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spllen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spllen 13551
Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
Assertion
Ref Expression
spllen (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))

Proof of Theorem spllen
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13548 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
76fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
8 swrdcl 13464 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13392 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13464 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 ccatlen 13393 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
1511, 13, 14syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
16 lencl 13356 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 11391 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℂ)
19 elfzelz 12380 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
202, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
2120zcnd 11521 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2218, 21addcld 10097 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23 elfzel2 12378 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
243, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
2524zcnd 11521 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
26 elfzelz 12380 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
273, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
2827zcnd 11521 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2922, 25, 28addsub12d 10453 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30 ccatlen 13393 . . . . . 6 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
319, 4, 30syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
32 elfzuz 12376 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
332, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
34 eluzfz1 12386 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
36 elfzuz3 12377 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
373, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
38 elfzuz3 12377 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
392, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
40 uztrn 11742 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
4137, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
42 elfzuzb 12374 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
4333, 41, 42sylanbrc 699 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
44 swrdlen 13468 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
451, 35, 43, 44syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
4621subid1d 10419 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
4745, 46eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
4847oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
4921, 18addcomd 10276 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 + (#‘𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
5031, 48, 493eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
51 elfzuz2 12384 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
523, 51syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
53 eluzfz2 12387 . . . . . 6 ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
55 swrdlen 13468 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
561, 3, 54, 55syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
5750, 56oveq12d 6708 . . 3 (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)))
5818, 28, 21subsub3d 10460 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹)) = (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
5958oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
6029, 57, 593eqtr4d 2695 . 2 (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
617, 15, 603eqtrd 2689 1 (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  cop 4216  cotp 4218  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327   splice csplice 13328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-splice 13336
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17961  efgtlen  18185
  Copyright terms: Public domain W3C validator