MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spllen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spllen 14104
Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
Assertion
Ref Expression
spllen (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))

Proof of Theorem spllen
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 14101 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1364 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
76fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
8 pfxcl 14027 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13914 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13995 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 ccatlen 13915 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
1511, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
16 lencl 13871 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
184, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
19 elfzelz 12896 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
2019zcnd 12076 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℂ)
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2218, 21addcld 10648 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23 elfzel2 12894 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
2423zcnd 12076 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
253, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
26 elfzelz 12896 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
2726zcnd 12076 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℂ)
283, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2922, 25, 28addsub12d 11008 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30 ccatlen 13915 . . . . . 6 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
319, 4, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
32 elfzuz 12892 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
332, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
34 elfzuz3 12893 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
353, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
36 elfzuz3 12893 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
372, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
38 uztrn 12249 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
3935, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
40 elfzuzb 12890 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
4133, 39, 40sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
42 pfxlen 14033 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
431, 41, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
4443oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
4521, 18addcomd 10830 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
4631, 44, 453eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
47 elfzuz2 12900 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
48 eluzfz2 12903 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
493, 47, 483syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
50 swrdlen 13997 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
511, 3, 49, 50syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
5246, 51oveq12d 7163 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)))
5318, 28, 21subsub3d 11015 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹)) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
5453oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
5529, 52, 543eqtr4d 2863 . 2 (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
567, 15, 553eqtrd 2857 1 (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cop 4563  cotp 4565  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cmin 10858  cuz 12231  ...cfz 12880  chash 13678  Word cword 13849   ++ cconcat 13910   substr csubstr 13990   prefix cpfx 14020   splice csplice 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-splice 14100
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18552  efgtlen  18781
  Copyright terms: Public domain W3C validator