MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spllen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spllen 13302
Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
Assertion
Ref Expression
spllen (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))

Proof of Theorem spllen
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13299 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1319 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
76fveq2d 6092 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
8 swrdcl 13217 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13158 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13217 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 ccatlen 13159 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
1511, 13, 14syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
16 lencl 13125 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 11200 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℂ)
19 elfzelz 12168 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
202, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
2120zcnd 11315 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2218, 21addcld 9915 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23 elfzel2 12166 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
243, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
2524zcnd 11315 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
26 elfzelz 12168 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
273, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
2827zcnd 11315 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2922, 25, 28addsub12d 10266 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30 ccatlen 13159 . . . . . 6 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
319, 4, 30syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
32 elfzuz 12164 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
332, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
34 eluzfz1 12174 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
36 elfzuz3 12165 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
373, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
38 elfzuz3 12165 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
392, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
40 uztrn 11536 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
4137, 39, 40syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
42 elfzuzb 12162 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
4333, 41, 42sylanbrc 694 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
44 swrdlen 13221 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
451, 35, 43, 44syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
4621subid1d 10232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
4745, 46eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
4847oveq1d 6542 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
4921, 18addcomd 10089 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 + (#‘𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
5031, 48, 493eqtrd 2647 . . . 4 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
51 elfzuz2 12172 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
523, 51syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
53 eluzfz2 12175 . . . . . 6 ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
55 swrdlen 13221 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
561, 3, 54, 55syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
5750, 56oveq12d 6545 . . 3 (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)))
5818, 28, 21subsub3d 10273 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹)) = (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
5958oveq2d 6543 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
6029, 57, 593eqtr4d 2653 . 2 (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
617, 15, 603eqtrd 2647 1 (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cop 4130  cotp 4132  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792   + caddc 9795  cmin 10117  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  #chash 12934  Word cword 13092   ++ cconcat 13094   substr csubstr 13096   splice csplice 13097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-substr 13104  df-splice 13105
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17684  efgtlen  17908
  Copyright terms: Public domain W3C validator