Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprssspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprssspr 42056
Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of the set of all unordered pairs. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sprssspr (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprssspr
StepHypRef Expression
1 sprval 42054 . . 3 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2 r2ex 3090 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
432eximi 1803 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
52, 4sylbi 207 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
65ax-gen 1762 . . . . 5 𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
76a1i 11 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ∀𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
8 ss2ab 3703 . . . 4 ({𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ↔ ∀𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
97, 8sylibr 224 . . 3 (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
101, 9eqsstrd 3672 . 2 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
11 fvprc 6223 . . 3 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
12 0ss 4005 . . . 4 ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
1312a1i 11 . . 3 𝑉 ∈ V → ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
1411, 13eqsstrd 3672 . 2 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
1510, 14pm2.61i 176 1 (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  {cpr 4212  cfv 5926  Pairscspr 42052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-spr 42053
This theorem is referenced by:  spr0el  42057
  Copyright terms: Public domain W3C validator